公元1841～1856年德國k.(t.w.)外爾斯特拉斯關(guān)于分析嚴(yán)密化的工作，主張將分析建立在算術(shù)概念的基礎(chǔ)之上，給出極限的ε-δ說法和級數(shù)一致收斂性概念;同時在冪級數(shù)基礎(chǔ)上建立復(fù)變函數(shù)論

　　公元1843年英國w.r.哈密頓發(fā)現(xiàn)四元數(shù)

　　公元1844年德國e.e.庫默爾創(chuàng)立理想數(shù)的概念;德國h.g.格拉斯曼出版《線性擴(kuò)張論》。建立ν個分量的超復(fù)數(shù)系，提出了一般的ν維幾何的概念

　　公元1847年德國k.g.c.von施陶特著《位置的幾何學(xué)》，不依賴度量概念建立射影幾何體系

　　公元1849～1854年英國的a.凱萊提出抽象群概念

　　公元1851年德國(g.f.)b.黎曼著《單復(fù)變函數(shù)的一般理論基礎(chǔ)》，給出單值解析函數(shù)的黎曼定義，創(chuàng)立黎曼面的概念，是復(fù)變函數(shù)論的一篇經(jīng)典性論文

　　公元1854年德國(g.f.)b.黎曼著《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》，創(chuàng)立ν維流形的黎曼幾何學(xué)英國g.布爾出版《思維規(guī)律的研究》，建立邏輯代數(shù)(即布爾代數(shù))

　　公元1855年英國a.凱萊引進(jìn)矩陣的基本概念與運(yùn)算

　　公元1858年德國(g.f.)b.黎曼給出ζ函數(shù)的積分表示與它滿足的函數(shù)方程，提出黎曼猜想德國a.f麥比烏斯發(fā)現(xiàn)單側(cè)曲面(麥比烏斯帶)

　　公元1859年中國李善蘭與英國的偉烈亞力合譯的《代數(shù)學(xué)》、《代微積拾級》以及《幾何原本》后9卷中文本出版，這是翻譯西方近代數(shù)學(xué)著作的開始

　　中國李善蘭建立了著名的組合恒等式(李善蘭恒等式)

　　公元1861年德國k.(t.w.)外爾斯特拉斯在柏林講演中給出連續(xù)但處處不可微函數(shù)的例子

　　公元1863年德國p.g.l.狄利克雷出版《數(shù)論講義》，是解析數(shù)論的經(jīng)典文獻(xiàn)

　　公元1865年倫敦數(shù)學(xué)會成立，是歷史上第一個成立的數(shù)學(xué)會

　　公元1866年俄國п.л.切比雪夫利用切比雪夫不等式建立關(guān)于獨(dú)立隨機(jī)變量序列的大數(shù)律，成為概率論研究的中心課題

　　公元1868年意大利e.貝爾特拉米著《論非歐幾何學(xué)的解釋》，在偽球面上實(shí)現(xiàn)羅巴切夫斯基幾何，這是第一個非歐幾何模型

　　德國(g.f.)b.黎曼的《用三角級數(shù)表示函數(shù)的可表示性》正式發(fā)表，建立了黎曼積分理論

　　公元1871年德國(c.)f.克萊因在射影空間中適當(dāng)引進(jìn)度量而得到雙曲幾何與橢圓幾何，這是不用曲面而獲得的非歐幾何模型

　　德國g.(f.p.)康托爾在三角級數(shù)表示的惟一性研究中首次引進(jìn)了無窮集合的概念，并在以后的一系列論文中奠定了集合論的基礎(chǔ)