例20 有一串?dāng)?shù)排成一行，其中第一個數(shù)是15，第二個數(shù)是40，從第三個數(shù)起，每個數(shù)恰好是前面兩個數(shù)的和，問這串?dāng)?shù)中，第1998個數(shù)被3除的余數(shù)是多少？

　　解：我們可以按照題目的條件把這串?dāng)?shù)寫出來，再看每一個數(shù)被3除的余數(shù)有什么規(guī)律，但這樣做太麻煩.根據(jù)上面說到的結(jié)論，可以采取下面的做法，從第三個數(shù)起，把前兩個數(shù)被3除所得的余數(shù)相加，然后除以3，就得到這個數(shù)被3除的余數(shù)，這樣就很容易算出前十個數(shù)被3除的余數(shù)，列表如下：

　　從表中可以看出，第九、第十兩數(shù)被3除的余數(shù)與第一、第二兩個數(shù)被3除的余數(shù)相同.因此這一串?dāng)?shù)被3除的余數(shù)，每八個循環(huán)一次，因為

　　1998＝ 8×249＋ 6，

　　所以，第1998個數(shù)被3除的余數(shù)，應(yīng)與第六個數(shù)被3除的余數(shù)一樣，也就是2.

　　一些有規(guī)律的數(shù)，常常會循環(huán)地出現(xiàn).我們的計算方法，就是循環(huán)制.計算鐘點是

　　1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.

　　這十二個數(shù)構(gòu)成一個循環(huán).

　　按照七天一輪計算天數(shù)是

　　日，一，二，三，四，五，六.

　　這也是一個循環(huán)，相當(dāng)于一些連續(xù)自然數(shù)被7除的余數(shù)

　　0， 1， 2， 3， 4， 5， 6

　　的循環(huán).用循環(huán)制計算時間：鐘表、星期、月、四季，說明人們很早就發(fā)現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象.用數(shù)來反映循環(huán)現(xiàn)象也是很自然的事.

　　循環(huán)現(xiàn)象，我們還稱作具有“周期性”，12個數(shù)的循環(huán)，就說周期是12，7個數(shù)的循環(huán)，就說周期是7.例20中余數(shù)的周期是8.研究數(shù)的循環(huán)，發(fā)現(xiàn)周期性和確定周期，是很有趣的事.

　　下面我們再舉出兩個余數(shù)出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象的例子.在講述例題之前，再講一個從帶余除式得出的結(jié)論：

　　甲、乙兩數(shù)被同一除數(shù)來除，得到兩個余數(shù).那么甲、乙兩數(shù)的積被這個除數(shù)除，它的余數(shù)就是兩個余數(shù)的積，被這個除數(shù)除所得的余數(shù).

　　例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被 11除的余數(shù)是 4×5＝20被 11除后的余數(shù) 9.

　　1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余數(shù)是2×2＝4.

　　例 21 19¹⁹⁹⁷被7除余幾？

　　解：從上面的結(jié)論知道，19¹⁹⁹⁷被7除的余數(shù)與2¹⁹⁹⁷被7除的余數(shù)相同.我們只要考慮一些2的連乘，被7除的余數(shù).

　　先寫出一列數(shù)

　　2，2×2＝4，2×2×2 ＝8，

　　2×2×2×2＝16，….

　　然后逐個用7去除，列一張表，看看有什么規(guī)律.列表如下：

　　事實上，只要用前一個數(shù)被7除的余數(shù)，乘以2，再被7除，就可以得到后一個數(shù)被7除的余數(shù).（為什么？請想一想.）

　　從表中可以看出，第四個數(shù)與第一個數(shù)的余數(shù)相同，都是2.根據(jù)上面對余數(shù)的計算，就知道，第五個數(shù)與第二個數(shù)余數(shù)相同，……因此，余數(shù)是每隔3個數(shù)循環(huán)一輪.循環(huán)的周期是3.

　　1997＝ 3× 665 ＋ 2.

　　就知道2¹⁹⁹⁷被7除的余數(shù)，與2¹⁹⁹⁷ 被 7除的余數(shù)相同，這個余數(shù)是4.

　　再看一個稍復(fù)雜的例子.

　　例22 70個數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個數(shù)以外，每個數(shù)的三倍都恰好等于它兩邊兩個數(shù)的和.這一行最左邊的幾個數(shù)是這樣的：

　　0，1，3，8，21，55，….

　　問：最右邊一個數(shù)（第70個數(shù)）被6除余幾？

　　解：首先要注意到，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都恰好等于前一個數(shù)的3倍減去再前一個數(shù)：

　　3＝1×3-0，

　　8=3×3-1，

　　21=8×3-3，

　　55=21×3-8，

　　……

　　不過，真的要一個一個地算下去，然后逐個被6去除，那就太麻煩了.能否從前面的余數(shù)，算出后面的余數(shù)呢？能！同算出這一行數(shù)的辦法一樣（為什么？），從第三個數(shù)起，余數(shù)的計算辦法如下：

　　將前一個數(shù)的余數(shù)乘3，減去再前一個數(shù)的余數(shù)，然后被6除，所得余數(shù)即是.

　　用這個辦法，可以逐個算出余數(shù)，列表如下：

　　注意，在算第八個數(shù)的余數(shù)時，要出現(xiàn)0×3-1這在小學(xué)數(shù)學(xué)范圍不允許，因為我們求被6除的余數(shù)，所以我們可以 0×3加6再來減 1.

　　從表中可以看出，第十三、第十四個數(shù)的余數(shù)，與第一、第二個數(shù)的余數(shù)對應(yīng)相同，就知道余數(shù)的循環(huán)周期是12.

　　70 ＝12×5+10.

　　因此，第七十個數(shù)被6除的余數(shù)，與第十個數(shù)的余數(shù)相同，也就是4.

　　在一千多年前的《孫子算經(jīng)》中，有這樣一道算術(shù)題：

　　“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”按照今天的話來說：

　　一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個數(shù).