例3 在1，2，3，4，5，6六個數字中選出盡可能多的不同數字組成一個數（有些數字可以重復出現），使得能被組成它的每一個數字整除，并且組成的數要盡可能小.

　　解：如果選數字5，組成數的最后一位數字就必須是5，這樣就不能被偶數2，4，6整除，也就是不能選2，4，6.為了要選的不同數字盡可能多，我們只能不選5，而選其他五個數字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，為了能整除3和6，所用的數字之和要能被3整除，只能再添上一個2，16+2＝18能被3整除.為了盡可能小，又要考慮到最后兩位數能被4整除.組成的數是

　　122364.

　　例4 四位數7□4□能被55整除，求出所有這樣的四位數.

　　解：55＝5×11，5與11互質，可以分別考慮被5與11整除.

　　要被5整除，個位數只能是0或5.

　　再考慮被11整除.

　　（7+4）-（百位數字+0）要能被11整除，百位數字只能是0，所得四位數是7040.

　　（7+4）-（百位數字+5）要能被11整除，百位數字只能是6（零能被所有不等于零的整數整除），所得四位數是7645.

　　滿足條件的四位數只有兩個：7040，7645.

　　例5 一個七位數的各位數字互不相同，并且它能被11整除，這樣的數中，最大的是哪一個？

　　，要使它被11整除，要滿足

　　（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）

　　能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a與b只能是0，1，2，3，4中的兩個數，只有b＝4，a＝0，滿足條件的最大七位數是9876504.

　　再介紹另一種解法.

　　先用各位數字均不相同的最大的七位數除以11（參見下頁除式）.

　　要滿足題目的條件，這個數是9876543減6，或者再減去11的倍數中的一個數，使最后兩位數字是0，1，2，3，4中的兩個數字.

　　43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此這個數是9876504.

　　思考題：如果要求滿足條件的數最小，應如何去求，是哪一個數呢？

　　（答：1023495）

　　例6 某個七位數1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三個數字組成的三位數是多少？

　　與上例題一樣，有兩種解法.

　　解一：從整除特征考慮.

　　這個七位數的最后一位數字顯然是0.

　　另外，只要再分別考慮它能被9，8，7整除.

　　1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位與百位的數字和是5或14，要被8整除，最后三位組成的三位數要能被8整除，因此只可能是下面三個數：

　　1993500，1993320，1993680，

　　其中只有199320能被7整除，因此所求的三位數是320.

　　解二：直接用除式來考慮.

　　2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍數是2520，這個七位數要被2520整除.

　　現在用1993000被2520來除，具體的除式如下：

　　因為 2520-2200＝320，所以1993000+320=1993320能被2520整除.

　　例7 下面這個41位數

　　能被7整除，中間方格代表的數字是幾？

　　解：因為 111111＝3×7×11×13×37，所以

　　555555＝5×111111和999999＝9×111111

　　都能被7整除.這樣，18個5和18個9分別組成的18位數，也都能被7整除.

　　右邊的三個加數中，前、后兩個數都能被7整除，那么只要中間的55□99能被7整除，原數就能被7整除.

　　把55□99拆成兩個數的和：

　　55A00＋B99，

　　其中□=A+B.

　　因為7丨55300，7丨399，所以□=3+3＝6.

　　注意，記住111111能被7整除是很有用的.