例7橫截面直徑為2分米的一根圓鋼，截成兩段后，兩段表面積的和為75.36平方分米，求原來那根圓鋼的體積是多少（π=3.14）？

分析與解：根據圓柱體的體積公式，體積=底面積×高。假設圓鋼長為x，因為將圓鋼截成兩段后，兩段表面積的和，等于圓鋼的側面積加上四個底面圓的面積，所以有下面式子：

　　2π×（2÷2）×x+4π×（2÷2）2

　　=2πx+4π

　　根據題目中給出的已知條件，可得下面方程：

　　2πx+4π=75.36

　　解方程：

　　圓鋼的體積為π×（2÷2）2×10≈31.4（立方分米）

　　答：（略）。

例8 一個圓錐的側面展開圖是一個半徑為10厘米、圓心角為216°的扇形，求此圓錐的體積是多少（π=3.14）？

分析與解：要想求出圓錐的體積，就要先求出它的底面圓的半徑與高。按題意畫圖6—17。在圖6—17中，字母R、h分別表示底面圓的半徑和圓錐體的高，根據弧長公式：弧長=2лR×n÷360（這里R是圓的半徑，n為弧所對圓心角的度數），便可求出弧長來。這個弧長就是底面圓的周長，再利用周長公式，就可求出底面圓的半徑R。另外從圖6—17中可以看出：圓錐的高、母線、底面圓的半徑正好構成一個直角三角形，利用勾股定理便可求出圓錐的高h。

　　所以 2πR=12π，得R=6（厘米）

　　在直角三角形中，根據勾股定理有：

　　102=h2+R2，即h2=102-R2

　　 =100-36=64，h=8（厘米）

　　答：（略）

例9 圖6—18中的圖形是一個正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點。現在沿三角形GFH所在平面鋸掉正方體的一個角，問鋸掉的這塊的體積是原正方體體積的幾分之幾？

分析與解：因為鋸掉的是立方體的一個角，所以HA與AG、AF都垂直。即HA垂直于三角形AGF所在的立方體的上底面，實際上鋸掉的這個角，是以三角形AGF為底面，H為頂點的一個三棱錐，如果我們假設正方體的棱長為a，則正方體的體積為a3。

　　三棱錐的底面是直角三角形AGF，而角FAG為90°，G、F又分別為AD、

而三棱錐的體積等于底面積與高的乘積再除以3，所以鋸掉的那一角的體積為

　　答：（略）

例10 圖6—19是一個里面裝有水的三棱柱封閉容器，圖6—20是這個三棱柱的平面展開圖。當以A面作為底面放在桌面上時，水高2厘米，如果以B面與C面分別作為底面放在桌面上時，水面高各為多少厘米？

分析與解：我們先求以A面作為底面放在桌面上時容器內的水的體積。此時水的體積，與以梯形FJQP為底面、JI為高的棱柱的體積相等。棱柱的體積等于底面積乘以高，從圖6—20可以看出，此棱柱的高JI為12厘米，梯形FJQP的下底FJ為3厘米，高QJ為2厘米。因為PTJQ是個長方形，所以QJ=PT=2厘米，而Q點是GJ的中點，PQ平行于FJ，這樣可以推算出QP為FJ的一半，為1.5厘米，這一來梯形FJQP的面積為

　　以C面為底面時，水的體積與以C（即三解形EHI）為底面，高為某數值

此時水面的高度為：

　　54÷6=9（厘米）

　　以B面作為底面時，原來以A面為底面時不裝水的那一部分，現在應裝水，原來裝水的某一部分現在應空出來，下面來討論這兩份之間的數量關系。

　　為方便起見，我們把C面適當放大成圖6—21，在圖6—21中，因為PQ平行于FJ，PT垂直于FJ，所以JQPT是一長方圖6ZI形，故JQ、PT、QG的長都是2厘米，TJ、PQ的長為1.5厘米，因為FJ長為3厘米，所以FT的長也為1.5厘米，這一來三角形FPT與PQG的形狀一樣，面積相等。這便說明原來以三角形PFT為底面，JI為高的裝水的棱柱的體積，與現在以三角形PQG為底面，JI為高裝水的棱柱的體積是相等的。所以以B面為底面時，水面的高度等于PQ的長度，即水面高為1.5厘米。

　　答：（略）