11.3  例題選講

例1 圖6—5中的幾何體是一個正方體，圖6—6是這個正方體的一個平面展開圖，圖6—7（a）、（b）、（c）也是這個正方體的平面展開圖，但每一展開圖上都有四個面上的圖案沒畫出來，請你給補上。

分析與解：從圖6—5和圖6—6中可知： 與；與；與互相處于相對面的位置上。只要在圖6—7

　　（a）、（b）、（c）三個展開圖中，判定誰與誰處在互為對面的位置上，則標有數字的四個空白面上的圖案便可以補上。

　　先看圖6—7中的（a），仔細觀察可知，1與4，3與處在互為對面的位置上。

　　再看圖6—7中的（b），同上，1與3，2與處在互為對面的位置上。

　　最后再看圖6—7中的（c），同上，1與，2與4處在互為對面的位置上。

　　圖6—7（a）、（b）、（c）標有數字的空白面上的圖案見圖6—8中的（a）、（b）、（c）。

例2 圖6—9中的幾何體是一個長方體，四邊形APQC是長方體的一個截面（即過長方體上四點A、P、Q、C的平面與長方體相交所得到的圖形），P、Q分別為棱A1B1、B1C1的中點，請在此長方體的平面展圖上，標出線段AC、CQ、QP、PA來。

分析與解：只要能正確畫出圖6—9中長方體的平面展開圖，問題便能迎刃而解。圖6—10中的粗實線，就是題目中所要標出的線段AC、CQ、QP、PA。

例3 在圖6—11中，M、N是圓柱體的同一條母線上且位于上、下底面上的兩點，若從M點繞圓柱體的側面到達N，沿怎么樣的路線路程最短？

分析與解：沿圓柱體的母線MN將圓柱的側面剪開鋪平，得出圓柱的側面展開圖，見圖6—12，從M點繞圓柱體的側面到達N點。實際上是從側面展開圖的長方形的一個頂點M到達不相鄰的另一個頂點N。而兩點間以線段的長度最短。所以最短路線就是側面展開圖中長方形的一條對角線，見圖6—12和圖6—13。

例4 圖6—14中的幾何體是一棱長為4厘米的正方體，若在它的各個面的中心位置上，各打一個直徑為2厘米，深為1厘米的圓柱形的孔，求打孔后幾何體的表面積是多少（π=3.14）？

分析與解：因為正方體的棱長為2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方體沒有被打透。這一來打孔后所得幾何體的表面積，等于原來正方體的表面積，再加上六個完全一樣的圓柱的側面積、這六個圓柱的高為1厘米，底面圓的半徑為1厘米。

　　正方體的表面積為42×6=96（平方厘米）

　　一個圓柱的側面積為2π×1×1=6.28（平方厘米）

　　幾何體的表面積為96+6.28×6=133.68（平方厘米）

　　答：（略）

例5 圖6—15是由18個邊長為1厘米的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積是多少？

分析與解：從圖6—15中可以看出，18個小正方體一共擺了三層，第一層2個，第二層7個，因為18-7-2=9，所以第三層擺了9個。另外，上、下兩個面的表面積是相同的，同樣，前、后；左、右兩個面的表面積也是分別相同的。因為小正方體的棱長是1厘米，所以

　　上面的表面積為12×9=9（平方厘米）

　　前面的表面積為12×8=8（平方厘米）

　　左面的表面積為12×7=7（平方厘米）

　　幾何體的表面積為9×2+8×2+7×2=

　　答：（略）

例6 圖6—16中所示圖形，是一個底面直徑為20厘米的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6厘米，高20厘米的一個圓錐體鉛錘，當鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降幾厘米？（π=3.14）

分析與解：因為玻璃杯是圓柱形的，所以鉛錘取出后，水面下降部分實際是一個小圓柱，這個圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣，是一直徑為20厘米的圓，它的體積正好等于圓錐體鉛錘的體積，這個小圓柱的高就是水面下降的高度。

　　因為圓錐形鉛錘的體積為

　　設水面下降的高度為x，則小圓柱的體積為x（20÷2）2×x=100πx（立方厘米）

　　所以有下列方程：

　　60π=100πx，解此方程得：

　　x=0.6（厘米）

　　答：鉛錘取出后，杯中水面下降了0.6厘米。