（注：文中將阿拉夫零記為alf(0)，阿拉夫一記為alf(1)，依次類推…）

　　由于alf(0)是無窮基數(shù)，阿拉夫是有異于有限運算的神奇運算，因而，以下的結(jié)果也不足為怪：

　　alf(0)+1=alf(0)

　　alf(0)+n=alf(0)

　　alf(0)+alf(0)=alf(0)

　　alf(0)Xn=alf(0)

　　alf(0)Xalf(0)=alf(0)

　　alf(0)是自然數(shù)集的基數(shù)。一個無窮基數(shù)，只要是可數(shù)集，其基數(shù)必為alf(0)。由可排序性，可知如整數(shù)集、有理數(shù)集的基數(shù)為alf(0)；或由它們的基數(shù)為alf(0)，得它們?yōu)榭蓴?shù)集。而實數(shù)集不可數(shù)（可由康托粉塵線反證不可數(shù)）推之存在比alf(0)更大的基數(shù)。乘法運算無法突破alf(0)，但冪集可突破：２alf(0)=alf(1)

　　可以證明實數(shù)集的基數(shù)card(Ｒ)=alf(1)。進(jìn)而，阿拉夫“家族”一發(fā)而不可收：２alf(1)=alf(2)；２alf(2)=alf(3)；……

　　alf(2)究竟有何意義？人們冥思苦想，得出：空間所有曲線的數(shù)目。但而后的alf(3)，人類絞盡腦汁，至今為能道出眉目來。此外，還有一個令人困惑的連續(xù)統(tǒng)之迷：“alf(0)與alf(1)之間是否還存在另一個基數(shù)？”

　　公元１８７８年，康托提出了這樣的猜想：在alf(0)與alf(1)之間不存在其它的基數(shù)。但當(dāng)時康托本人對此無法予以證實。

　　公元１９００年，在巴黎召開的第二次國際數(shù)學(xué)家會議上，德國哥庭根大學(xué)教授希爾伯特提出了舉世聞名的２３個二十世紀(jì)須攻克的數(shù)學(xué)問題中，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)顯赫的排在第一個。然而這個問題的最終結(jié)果卻是完全出人意料的。

　　公元１９３８年，奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾證明了“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)決不會引出矛盾”，意味著人類根本不可能找出連續(xù)統(tǒng)假設(shè)有什么錯誤。１９６３年，美國數(shù)學(xué)家柯亨居然證明了：“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是獨立的”，也就是說連續(xù)統(tǒng)假設(shè)根本不可能被證明。