2.數的整除特征

　�。�1）能被2整除的數的特征：

　　如果一個整數的個位數是偶數，那么它必能被2整除.

　�。�2）能被5整除的數的特征：

　　如果一個整數的個位數字是0或5，那么它必能被5整除.

　�。�3）能被3（或9）整除的數的特征：

　　如果一個整數的各位數字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.

　�。�4）能被4（或25）整除的數的特征：

　　如果一個整數的末兩位數能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.

　�。�5）能被8（或125）整除的數的特征：

　　如果一個整數的末三位數能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.

　�。�6）能被11整除的數的特征：

　　如果一個整數的奇數位數字之和與偶數位數字之和的差（大減�。┠鼙�11整除，那么它必能被11整除.

　　是什么數字？

　　解：18=2×9，并且2與9互質，根據前面的性質4，可以分別考慮被2和9整除.

　　要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.

　　再考慮被9整除，四個數字的和就要被9整除，已有7+4=11.

　　如果 b=0，只有 a=7，此數是 7740；

　　如果b=2，只有a=5，此數是7542；

　　如果b＝4，只有a＝3，此數是 7344；

　　如果 b＝6，只有 a＝1，此數是 7146；

　　如果b＝8，只有a＝8，此數是7848.

　　因此其中最小數是7146.

　　根據不同的取值，分情況進行討論，是解決整數問題常用辦法，例1就是一個典型.

　　例2 一本老賬本上記著：72只桶，共□67.9□元，其中□處是被蟲蛀掉的數字，請把這筆賬補上.

　　解：把□67.9□寫成整數679，它應被72整除.72＝9×8，9與8又互質.按照前面的性質4，只要分別考慮679被8和被9整除.從被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.從6792能被9整除，按照被9整除特征，各位數字之和+24能被9整除，因此a＝3.

　　這筆帳是367.92元.

　　例3 在1，2，3，4，5，6六個數字中選出盡可能多的不同數字組成一個數（有些數字可以重復出現），使得能被組成它的每一個數字整除，并且組成的數要盡可能小.

　　解：如果選數字5，組成數的最后一位數字就必須是5，這樣就不能被偶數2，4，6整除，也就是不能選2，4，6.為了要選的不同數字盡可能多，我們只能不選5，而選其他五個數字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，為了能整除3和6，所用的數字之和要能被3整除，只能再添上一個2，16+2＝18能被3整除.為了盡可能小，又要考慮到最后兩位數能被4整除.組成的數是

　　122364.

　　例4 四位數7□4□能被55整除，求出所有這樣的四位數.

　　解：55＝5×11，5與11互質，可以分別考慮被5與11整除.

　　要被5整除，個位數只能是0或5.

　　再考慮被11整除.

　�。�7+4）-（百位數字+0）要能被11整除，百位數字只能是0，所得四位數是7040.

　�。�7+4）-（百位數字+5）要能被11整除，百位數字只能是6（零能被所有不等于零的整數整除），所得四位數是7645.

　　滿足條件的四位數只有兩個：7040，7645.