例1 如下圖所示，已知長方形的周長為20厘米，長和寬都是整厘米數(shù)，這個(gè)長方形有多少種可能形狀?哪種形狀的長方形面積最大?(邊長為1厘米的正方形的面積叫做1平方厘米).

　　解：由于長方形的周長是20厘米，可知它的長與寬之和為10厘米.下面列舉出符合這個(gè)條件的各種長方形.

　　(注意，正方形可以說成是長與寬相等的長方形).

　　下面把5種長方形按實(shí)際尺寸大小一一畫出來，見下面圖(1)～(5).

　　例2 如右圖所示，ABCD是一個(gè)正方形，邊長為2厘米，沿著圖中線段從A到C的最短長度為4厘米.問這樣的最短路線共有多少條?請一一畫出來.

　　解：將各種路線一一列出，可知共6條，見下圖.

　　注意，如果題中不要求將路徑一一畫出，可采用如右圖所示方法較為便捷.圖中交點(diǎn)處的數(shù)字表示到達(dá)該點(diǎn)的路線條數(shù)，如O點(diǎn)處的數(shù)字2，表示由A到O有2條不同的路徑，見上圖中的(1)和(2);又H點(diǎn)處的數(shù)字3的意義也如此，見上圖中的(1)、(2)、(3)可知有3條路徑可由A到H.仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn)各交點(diǎn)處的數(shù)字之間的關(guān)系，如O點(diǎn)的2等于F點(diǎn)和E點(diǎn)的數(shù)字相加之和，即1+1=2，又如，C點(diǎn)的6等于G點(diǎn)和H點(diǎn)的數(shù)字相加之和，即3+3=6.

　　例3 在10和31之間有多少個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)?

　　解：由嘗試法可求出答案：

　　3×4=12 3×5=15 3×6=18 3×7=21

　　3×8=24 3×9=27 3×10=30

　　可知滿足條件的數(shù)是 12、15、18、21、24、27和30共7個(gè).

　　注意，倘若問10和1000之間有多少個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，則用上述一一列舉的方法就顯得太繁瑣了，此時(shí)可采用下述方法：

　　10÷3=3余1，可知10以內(nèi)有3個(gè)數(shù)是3的倍數(shù);

　　1000÷3=333余1，可知1000以內(nèi)有333個(gè)數(shù)是3的倍數(shù);

　　333-3=330，則知10～1000之內(nèi)有330個(gè)數(shù)是3的倍數(shù).

　　由上述這些例題可體會枚舉法的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)及其適用范圍.

　　例4 兩個(gè)整數(shù)之積為144，差為10，求這兩個(gè)數(shù)?

　　解：列出兩個(gè)數(shù)積為144的各種情況，再尋找滿足題目條件的一對出來：

　　1 2 3 4 6 8 9 12

　　144 72 48 36 24 18 16 12

　　可見其中差是10的兩個(gè)數(shù)是8和18，這一對數(shù)即為所求.

　　例5 12枚硬幣的總值是1元，其中只有5分和1角的兩種，問每種硬幣各多少個(gè)?

　　解：列舉出兩種硬幣的可能搭配：

　　可見滿足題目要求的搭配是：四個(gè)5分幣，八個(gè)1角幣.

　　例6 小虎給4個(gè)小朋友寫信.由于粗心，在把信紙裝入信封時(shí)都給裝錯(cuò)了.4個(gè)好朋友收到的都是給別人的信.問小虎裝錯(cuò)的情況共有多少種可能?

　　解：把4封信編號：1，2，3，4.

　　把小朋友編號，友1，友2，友3，友4.

　　并假定1號信是給友1寫的，2號信是給友2寫的，3號信是給友3的，4號信是給友4寫的：再把各種可能的錯(cuò)裝情況列成下表：

　　說明：如第一種錯(cuò)收情況是友1得2號信，友2得了1號信，友3得了4號信，友4得了3號信.