1、將一根長144厘米的鐵絲,做成長和寬都是整數的長方形,共有______種不同的做法 其中面積最大的是哪一種長方形

　　(1992年"我愛數學"邀請賽試題)

　　講析:做成的長方形,長與寬的和是

　　144÷2=72(厘米).

　　因為72=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36,

　　所以,一共有36種不同的做法.

　　比較以上每種長方形長與寬的積,可發現:當長與寬都是36厘米時,面積最大.

　　2、若干只同樣的盒子排成一列，小明把42個同樣的小球放在這些盒子里然后外出，小聰從每只盒子里取出一個小球，然后把這些小球放到小球最少的盒子里去，在把盒子從新排列了一下。小明回來，仔細查看，沒有發現友人動過小球和盒子。問：一共有多少只盒子？

　　分析：設原來小球數最少的盒子里裝有a只小球，現在增加到了b只，但小明發現沒有人動過小球和盒子，這說明現在又有了一只裝有a個球的盒子，這只盒子原來裝有a+1個小球，

　　同理，現在另有一個盒子里裝有a+1個小球，這只盒子里原來裝有a+2個小球。

　　依此類推可知：原來還有一個盒子里裝有a+3個小球，a+4個小球等等，故原來那些盒子里裝有的小球數是一些連續自然數。

　　現在這個問題就變成了：將42分拆成若干個連續整數的和，一共有多少種分法，每一種分法有多少個加數？

　　因為42=6×7，故可將42看成7個6的和，又：

　　（7+5）+（8+4）+（9+3）

　　是六個6，從而：

　　42=3+4+5+6+7+8+9

　　一共有7個加數；又因為42=14×3，可將42寫成13+14+15，一共有3個加數；

　　又因為42=21×2，故可將42寫成9+10+11+12，一共有4個加數。

　　解：本題有三個解，一共有7只盒子，4只盒子，3只盒子。

　　點金術：巧用假設和推理把已知和未知聯系起來。

　　3、將1992表示成若干個自然數的和,如果要使這些數的乘積最大,這些自然數是______.

　　(1992年武漢市小學數學競賽試題)

　　講析:若把一個整數拆分成幾個自然數時,有大于4的數,則把大于4的這個數再分成一個2與另一個大于2的自然數之和,則這個2與大于2的這個數的乘積肯定比它大.又如果拆分的數中含有1,則與"乘積最大"不符.

　　所以,要使加數之積最大,加數只能是2和3.

　　但是,若加數中含有3個2,則不如將它分成2個3.因為2×2×2=8,而3×3=9.

　　所以,拆分出的自然數中,至多含有兩個2,而其余都是3.

　　而1992÷3=664.故,這些自然數是664個3.

　　4、把50分成4個自然數,使得第一個數乘以2等于第二個數除以2;第三個數加上2等于第四個數減去2,最多有______種分法.

　　(1990年《小學生報》小學數學競賽試題)

　　講析:設50分成的4個自然數分別是a,b,c,d.

　　因為a×2=b÷2,則b=4a.所以a,b之和必是5的倍數.

　　那么,a與b的和是5,10,15,20,25,30,35,40,45.

　　又因為c+2=d-2,即d=c+4.所以c,d之和加上4之后,必是2的倍數.

　　則c,d可取的數組有:

　　(40,10),(30,20),(20,30),(10,40).

　　由于40÷5=8,40-8=32;(10-4)÷2=3,10-3=7,

　　得出符合條件的a,b,c,d一組為(8,32,3,7).

　　同理得出另外三組為:(6,24,8,12),(4,16,13,17),(2,8,18,22).

　　所以,最多有4種分法.

　　5、把945寫成連續自然數相加的形式,有多少種

　　(第一屆"新苗杯"小學數學競賽試題)

　　講析:因為945=35×5×7,它共有(5+1)×(1+1)×(1+1)=16(個)奇約數.

　　所以,945共能分拆成16-1=15(種)不同形式的連續自然數之和.

　　 5、幾個連續自然數相加,和能等于1991嗎 如果能,有幾種不同的答案 寫出這些答案;如果不能,說明理由.

　　(全國第五屆《從小愛數學》邀請賽試題)

　　講析:1991=11×181,它共有(1+1)×(1+1)=4(個)奇約數.

　　所以,1991可以分成幾個連續自然數相加,并且有3種答案.

　　由1991=1×1991得:

　　1991=995+996.

　　由1991=11×181得:

　　…+(80+101)

　　=80+81+……+100+101.

　　6、一道簡單的問題是：用1、＋、×、（）的運算來分別表示23和27，哪個數用的1較少？要表達2008，最少要用多少個1？

　　我們先給出從1到15的表達式。

　　1=1,

　　2=1+1,

　　3=1+1+1,

　　4=(1+1)×(1+1)，

　　5=(1+1)×(1+1)+1,

　　6=(1+1)×(1+1+1),

　　7=(1+1)×(1+1+1)+1,

　　8=(1+1)×(1+1)×(1+1),

　　9=(1+1+1)×(1+1+1),

　　10=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1),

　　11=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1,

　　12=(1+1+1)×(1+1)×(1+1),

　　13=(1+1+1)×(1+1)×(1+1)+1,

　　14=  (1+1)×((1+1)×(1+1+1)+1),

　　15= (1+1+1)×((1+1)×(1+1)+1)。

　　把用1的個數寫成數列，就是{1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 7, 8, 8, 8, ...}。

　　對于23，

　　23 = (1+1)×((1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1)+1，

　　1的個數為11。

　　對于27，

　　27 = (1+1+1) × (1+1+1) × (1+1+1)

　　1的個數為9。

　　對于2008這樣的大數，要尋找表達式很困難。

　　我找到的表達式是

　　(((1+1)×(1+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1=2008

　　一共用了24個1，但是不是用了最少的1，證明起來有一定難度。

　　7、下面這道題出自斯坦福大學入學考試題。

　　有一天非常熱，四對夫婦共飲了44瓶可樂。女士安喝了2瓶，貝蒂喝了3瓶，卡羅爾喝了4瓶，多蘿西喝了5瓶。布朗先生和他的妻子喝得一樣多，但是其他三位男士都比各自的妻子喝得多：格林先生是其妻的兩倍，懷特先生是三倍，史密斯先生是四倍。請說出四位女士的姓。

　　在美國，妻子與丈夫同姓。解決本題的方法之一是解不定方程。下面我們換一種方法，就是整數的拆分。

　　44瓶可樂，減去女士已經喝掉的14瓶，還剩30瓶。先按照每個男士和女士喝得一樣多，再減掉男士喝掉的14瓶，還剩16瓶。本題的實質是把16拆分成2、3、4、5中的某3個數的1、2、3。倍之和。

　　顯然，5或者4的3倍加上2、3會超過16，3的3倍也不行，只有2的3倍是一個可行的數。

　　16去掉6后還剩下10。也就是要把10拆分成3、4、5中某2個數的1、2倍之和，結果就是2個3和1個4。

　　最后，我們得到的答案是

　　44=2＋3＋4＋5＋4×2＋3×3＋2×4＋1×5。

　　和題目描述的對比一下，就可以知道四位女士的姓名了：安·史密斯，貝蒂·懷特，卡羅爾·格林，多蘿西·布朗。

　　用整數的拆分方法來解整數方程，也是一條好途徑。

　　8、子女的年齡

　　題目的描述是這樣的：一個經理有3個女兒，3個女兒的年齡加起來等于13，3個女兒的年齡乘起來等于經理自己的年齡，有1個下屬已知道經理的年齡，但仍不能確定經理3個女兒的年齡，這時經理說只有1個女兒的頭發是黑的，然后這個下屬就知道了經理3個女兒的年齡。請問三個女兒的年齡分別是多少？為什么？

　　題目也可能變為：兩個俄國數學家在飛機相遇。伊凡問：如果我沒有記錯的話，你有3個兒子，他們都多大了？艾格回答：他們的年齡乘積是36，年齡之和是今天的日期。伊凡思考了一分鐘后，說：可是你并沒有告訴我你兒子的歲數。艾格說：忘了告訴你，我小兒子的頭發是紅色的。伊凡回答：那就很清楚了，我知道你兒子的歲數了。伊凡是怎么知道艾格兒子們的歲數的？

　　這道題也很經典，難度不算太大，經常改頭換面地出現在各類趣味數學書本中。因為解題過程不需要高深的數學知識，只涉及簡單的加數拆分和因素分解，但要求縝密的邏輯性和足夠的耐心。

　　我們把這些都列成表。在女兒猜數中，出現了兩個相同的乘積36，導致判斷困難，因此可以斷定父親的年齡為36；由于只有一個女兒的頭發是黑的，去掉了兩個小女兒同為2歲的可能性，結果因此就出來了，女兒的歲數分別是1、6、6。在兒子的猜數中，出現了2個相同的和13，導致了判斷困難。由于只有一個兒子的頭發是紅的，排除了兩個兒子同為2歲的可能性，因此結果也是三個兒子分別為1、6、6歲，當天日期為本月的13日。

　　8、從不知道到知道

　　有兩個非常好的邏輯學家朋友P和S。他們在猜兩個整數x、y.。已知1<x<y<99且x+y<100。P知道x與y的乘積，S知道x與y的和。

　　P說：我不知道這兩個數。

　　S說：我知道你不知道。

　　P說：我知道了這兩個數。

　　S說：我也知道了。

　　根據兩人的對話，你能判斷x與y到底是多少嗎？

　　這是一道更加經典同時難度更大的趣味數學題，是精品中的精品。我們就來慢慢分析整個思維過程吧。

　　首先，兩個乘數因子不能是兩個不同素數的乘積，不然P就一定能知道兩個數是多少。

　　我們先列出100以內所有的素數，2,3,5,7,11,13, 17,19,23,29,31,   37,   41,   43,   47,   53,   59,   61,   67,   71,    73,   79,   83,   89,   97。

　　我們可以用一個數表列出所有兩個素數的和，凡是在表中出現的和都不該是兩人要猜測的數的和。

　　于是，我們100以內還剩下的和有11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53、57、59、61、65、67、77、79、83、87、89、93、95、97。

　　34×17可以直接導出兩數之和51、38×19 可以直接導出兩數之和57，29×58可以直接導出兩數之和87，31×62可以直接導出兩數之和93，因此51、57、87、93可以排除。

　　由于53×6=106×2會導致兩數之和超過100，因此數59、61、65、67、77、79、83、89、95、97也被排除在外。

　　剩下的和數的數列就是11、17、23、27、29、35、37、41、47、53。

　　我們繼續進行。

　　此數是11嗎？

　　因為24=3×8、28=4×7，S知道和為11，卻無法斷定出P。

　　此數是23嗎？

　　76=4×19,112=16×7, S知道和為23，卻無法斷定出P。

　　同樣，可以排除29、35、37、41、47、51和53這些數字和。

　　現在輪到17了。

　　S=17=2+15，P=2×15=5×6，導出S=11，11在可能的和數之列，被排除。

　　S=17=6+11，P=6×11=2×33，導出S=35，35在可能的和數之列，被排除。

　　S=17=7+10，P=7×10=2×35，導出S=37，37在可能的和數之列，被排除。

　　S=17=8+9，P=8×9=3×24，導出S=27，27在可能的和數之列，被排除。

　　現在只剩下S=17=4+13，P=4×13=52=2×26，導出S=28，不在上述的和數之列。

　　答案露出水面，這兩個數是4和13。

　　簡單的描述后面，是嚴謹的邏輯和繁瑣篩選過程。出題者一定是真正的數學大師。然而，這道題到底源自何人，我不得而知。 

第二頁：練習題及精講9-15題