數論之整數拆分練習19

　　若干只同樣的盒子排成一列，小明把42個同樣的小球放在這些盒子里然后外出，小聰從每只盒子里取出一個小球，然后把這些小球放到小球最少的盒子里去，在把盒子從新排列了一下。小明回來，仔細查看，沒有發現友人動過小球和盒子。問：一共有多少只盒子？

　　分析：設原來小球數最少的盒子里裝有a只小球，現在增加到了b只，但小明發現沒有人動過小球和盒子，這說明現在又有了一只裝有a個球的盒子，這只盒子原來裝有a+1個小球，

　　同理，現在另有一個盒子里裝有a+1個小球，這只盒子里原來裝有a+2個小球。

　　依此類推可知：原來還有一個盒子里裝有a+3個小球，a+4個小球等等，故原來那些盒子里裝有的小球數是一些連續自然數。

　　現在這個問題就變成了：將42分拆成若干個連續整數的和，一共有多少種分法，每一種分法有多少個加數？

　　因為42=6×7，故可將42看成7個6的和，又：

　　（7+5）+（8+4）+（9+3）

　　是六個6，從而：

　　42=3+4+5+6+7+8+9

　　一共有7個加數；又因為42=14×3，可將42寫成13+14+15，一共有3個加數；

　　又因為42=21×2，故可將42寫成9+10+11+12，一共有4個加數。

　　解：本題有三個解，一共有7只盒子，4只盒子，3只盒子。

　　點金術：巧用假設和推理把已知和未知聯系起來。