數論之整數拆分練習18

　　用1分，2分和5分的硬幣湊成一元錢，共有多少種不同的湊法？

　　分析：用1分，2分和5分的硬幣湊成一元錢與用2分和5分硬幣湊成不超過一元錢的湊法是一樣的。于是，本題轉化為：“有2分硬幣50個，5分硬幣20個，湊成不超過一元錢的不同湊法有多少種？”

　　解：按5分硬幣的個數分21類計數；

　　假若5分硬幣有20個，顯然只有一種湊法；

　　假若5分硬幣有19個，則2分硬幣的幣值不超過100-5×19=5（分），于是2分硬幣可取0個、1個或2個，既有3種不同的湊法；

　　假若5分硬幣有18個，則2分硬幣的幣值不超過100-5×18=10（分），于是2分硬幣可取0個、1個2個3個4個或5個，既有6種不同的湊法；

　　…如此繼續下去，可以得到不同的湊法共有：

　　1+3+6+8+11+13+16+18+21+……+48+51

　　=5×（1+3+6+8）+4×（10+20+30+40）+51

　　=90+400+51

　　=541（種）

　　點金術：巧用轉化法假設法架起已知與未知之間的橋梁。