3．典型應用題

　　前面所述，復合應用題中，有些題需要用特殊的思路與方法進行解答，這類題稱為典型應用題。現行小學數學課本中編排的典型應用題主要有求平均數問題、歸一問題、行程問題等三種。

　　每種典型應用題都具有特殊的結構與特定的數量關系，通過具體的例題，在分析、比較、歸納的基礎上，都可以找出特定的解答規律，這些解答規律，還可以用某種形式固定下來。因此，解答典型應用題要注意分析，理解某種題特定解法的含義，防止死記解題規律，亂用解題公式．

　　（1）求平均數問題

　　已知幾個不同的數，在總和不變的情況下，經過移多補少，使它們成為相等的數，這個相等的數就稱為它們的平均數。在日常生活和生產中，經常會遇到求平均數的問題。

　　解答求平均數問題，一般要先求出總和與總份數，然后用總和除以總份數，得出每一份是多少。即平均數是多少。

　　總和÷總份數=平均數。

　　由于題中的總和與總份數是隨著不同的具體問題而變化的，解題時要通過分析數量關系，正確地找出它們，這是解題的關鍵，也是容易發生錯誤的地方。

　　例 1 一個小組8位同學的體重分別是38千克、39千克、38.5千克、36.5千克、36千克、37千克、35.5千克、39.5千克。這個小組同學的平均體重是多少千克？

　　[解]

　　（38+39+38.5+36.5+36+37+35.5+39.5）÷8

　　=300÷8

　　=37.5（千克）。

　　答：這個小組同學的平均體重是37.5千克。

　　[常見錯誤]

　　（1）（38+39+38.5+36.5+36+37+35.5）÷8

　　=260.5÷8

　　≈32.6（千克）。

　　答：這個小組同學的平均體重是32.6千克。

　　（2）（38+39+38.5+35.6+36+37+35.5+39.5）÷8

　　=299.1÷8

　　≈37.51（千克）。

　　答：這個小組同學的平均體重是37.51千克。

　　（3）（38+39+38.5+36.5+36+37+35.5+39.5）÷8

　　=400÷8

　　=50（千克）。

　　答：這個小組同學的平均體重是50千克。

　　[分析]

　　解答求平均數問題，求總份數容易發生錯誤。錯解（1）是漏掉了最后一個同學的體重；錯解（2）是將第四個同學的體重36.5千克錯寫成35.6千克；錯解（3）是求和時將總重量300千克錯成了400千克。防止發生類似錯誤，一是求總和時要與題中的數據校對，確定沒有錯誤后再開始計算；二是算完后要進行驗算。做到以上兩點，就可以減少錯誤。

　　例 2 亮利公司九、十月份共生產洗衣粉800噸，十一月份生產420噸，十二月份生產440噸。求四個月的月平均產量。

　　[解]（800+420+440）÷4

　　=1660÷4

　　=415（噸）。

　　答：四個月的月平均產量是415噸。

　　[常見錯誤]

　　（800×2+420+440）÷4

　　=（1600+420+440）÷4

　　=2460÷4

　　=615（噸）。

　　答：四個月的月平均產量是615噸。

　　[分析]

　　這道題的解題思路是正確的，即先求出總和，再求出月平均產量，但是，求總和時產生了錯誤，把“九、十月份共生產洗衣粉800噸”，理解成“九、十月份平均每月生產洗衣粉800噸”，由于審題不嚴密而產生了錯誤。

　　例 3 一個農場種兩塊玉米試驗田。第一塊2.5公頃，平均每公頃產玉米6750千克；第二塊1.5公頃，共產玉米11250千克，這兩塊地平均每公頃產玉米多少千克？（得數保留整千克）

　　[解]（6750×2.5+11250）÷（2.5+1.5）

　　=（16875+11250）÷4

　　=28125÷4

　　≈7031（千克）。

　　答：平均每公頃產玉米7031千克。

　　[常見錯誤]

　　（1）（6750+11250）÷（2.5+1.5）

　　=18000÷4

　　=4500（千克）。

　　答：平均每公頃產玉米4500千克。

　　（2）（6750+11250）÷2

　　=18000÷2

　　=9000（千克）。

　　答：平均每公頃產玉米9000千克。

　　（3）（6750×2.5+11250）÷2

　　=（16875+11250）÷2

　　=28125÷2

　　≈14063（千克）。

　　答：平均每公頃產玉米14063千克。

　　（4）（6750+11250÷1.5）÷2

　　=（6750+7500）÷2

　　=14250÷2

　　=7125（千克）。

　　答：平均每公頃產玉米7125千克。

　　[分析]

　　這是一道求平均數的應用題，解答這類問題的關鍵是先求出總和與總份數，再求出平均數。然而，學生經常把總和與總份數弄錯而產生錯誤的解法，如第一種錯誤是把第一塊試驗田平均每公頃產6750千克錯看成了第一塊田的收獲量；第二種錯誤解法是把總和及總份數都理解錯了，第三種錯誤解法雖然求總和是正確的，但對總份數的理解是錯誤的，總份數應該是總公頃數，而這里求出的實際上是“平均每塊地產玉米多少千克”；第四種錯誤解法求出的實際是“兩塊地平均每公頃產量的平均值”。

　　要防止產生上述錯誤，要注意透徹地理解求平均數的意義及它的求法。為了建立總和與總份數的概念，初學求平均數時，可分三步解題，即先求出總和，再求出總份數，最后求出平均數。

　　當解題熟練以后，可以取消分步解答而用綜合算式解答。

　　例 4 山上某鎮離山下縣城有60千米路程，一人騎車從某鎮出發去縣城，每小時行20千米；從縣城返回某鎮時，由于是上山路，每小時行15千米。問他往返平均每小時約行多少千米？

　　[解]60×2÷（60÷20+60÷15）

　　=120÷（3+4）=120÷7

　　≈17.14（千米）。

　　答：他往返平均每小時約行17.14千米。

　　[常見錯誤]

　　（20+15）÷2

　　=35÷2

　　=17.5（千米）。

　　答：他往返平均每小時約行17.5千米。

　　例 5 一輛汽車從甲地開往乙地，在平地上行駛2.5小時，每小時行駛42千米；在上坡路上行駛1.5小時，每小時行駛30千米；在下坡路上行駛2小時，每小時行駛45千米，正好到達乙地。求這輛汽車從甲地到乙地的平均速度。

　　[解]（42×2.5+30×1.5+45×2）÷（2.5+1.5+2）

　　=（105+45+90）÷6

　　=240÷6

　　=40（千米）。

　　答：這輛汽車的平均速度是每小時40千米。

　　[常見錯誤]

　　（42+30+45）÷3

　　=117÷3

　　=39（千米）。

　　答：這輛汽車的平均速度是每小時39千米。

　　[分析]

　　上面例4與例5的錯解具有一定的代表性。例4的錯解中求出的是騎車人往、返速度的平均值；例5的錯解中求出的是汽車在平地、上坡、下坡三種速度的平均值。產生這類錯誤的原因是對“平均速度”與“速度的平均值”這兩個概念混淆，錯誤地認為速度的平均值就是平均速度。要防止出錯，首先要弄清求一段路程的平均速度先要知道這段路程的總距離及行完這段路程所用的總時間，然后根據“距離÷時間=速度”的關系求出平均速度。

　　例 6 一艘輪船往返于甲乙兩個碼頭，順水每小時航行25千米，逆水每小時航行20千米。這艘輪船往、返的平均速度是每小時多少千米？

　　[解]（1+1）÷（1÷25+1÷20）=2÷（0.04+0.05）

　　=2÷0.09

　　≈22.22（千米）。

　　答：這艘輪船往、返的平均速度是每小時22.22千米。

　　[常見錯誤]

　　（25+20）÷2

　　=45÷2

　　=22.5（千米）。

　　答：這艘輪船往、返的平均速度是每小時22.5千米。

　　[分析]

　　例 6 由于已知條件中只含有順水、逆水航行速度（即往、返速度）兩個數據，求平均速度而又未給出航行的路程，這就使得沒有弄清平均速度的學生和不會分析題目數量關系的學生都把“速度的平均值”當作“平均速度”來求。

　　我們已經知道，要求平均速度只有先求出航行的總路程與總時間。從表面上看，題目似乎缺少甲、乙碼頭距離的已知條件，因為若知道這個距離，則往、返需要的時間可求，航行的總路程也可求。實際上甲、乙碼頭的距離不知道完全可以求出平均速度。我們可以假設甲、乙碼頭的距離為10千米，往、返的路程顯然為（10+10）千米，總時間為10÷20+10÷25，所以平均速度為：

　　我們把上面除式改寫成分數的形式，顯然分子、分母有公約數10可以約去；如果我們假設甲、乙碼頭距離為15千米、20千米、100千米，按上面分析的理由，由除式改寫的分數，分子、分母將約去15、20、100的公約數。由此可知往、返的平均速度的大小與甲、乙碼頭的距離無關，也就是說不必知道甲、乙碼頭的距離的具體數值同樣可以求出平均速度。因此我們一般設甲、乙碼頭的距離為1，這個1并不一定是表示1千米，而是表示甲、乙碼頭距離的總量，正像我們在工程問題中設工程總量為1一樣，這樣就得到了前面正確解答中的算式。