一、分數產生的現實背景之一--測量

　　從數學發展史看，分數產生于人類的測量活動，而且人類認識分數是從認識分數單位開始的。

　　⑴測量一張三人沙發的長度，如果沒有現成的尺子，可以自選一個度量單位，如用一條領帶的長為度量單位進行測量，測得三人沙發的長恰好等于這條領帶長的2倍，即

　　三人沙發的長＝領帶的長×2＝2（領帶的長）。

　　量＝度量單位×量數。

　　⑵測量一張單人沙發的長度，發現它還不足一條領帶的長。怎么辦呢？辦法是縮小度量單位。把這條領帶對折兩次，即以這條領帶長度的四分之一（）為度量單位時，單人沙發的長恰好等于它的3倍，即

　　單人沙發的長＝領帶的長的×3＝（領帶的長）

　　量＝度量單位×量數。

　　在測量單人沙發時，我們用到了比自然數1更小的度量單位（把自然數1平均分成4份，表示其中的一份的數是）。

　　這里，分數和表示不同的長度（量），其中，是分數單位，表示3個，或的3倍。

　　所以，用分數單位度量一個量時，所得的結果一般是用分數表示的。也可以說，分數是由量與分數單位（度量單位）的倍比關系產生的。分數單位的重要性可見一斑。

　　想一想：已知用1為單位度量三人沙發的長時，量數是2，沙發的長是多少？那么用為單位度量這張三人沙發的長，量數是幾？這張三人沙發的長度是幾分之幾？如果用為單位去度量這張三人沙發的長呢？

　　下面的表格，同樣可以表征上述數學問題：

　　三人沙發的長度

　　度量單位

　　量數

　　 ？

　　1

　　2

　　？

　　？

　　？

　　？

　　　下面雙重刻度的線段，也可以表征上述的數學問題：

　　經過上述作業，能充分體驗量、度量單位、量數三者的基本關系：量＝度量單位×量數；同時，還會發現：2＝＝。

　　再想一想：用為單位去度量一張雙人沙發的長，如果所得的量數是6，那么這張雙人沙發的長度可以用什么分數表示？

　　上面這個數學問題，用線段圖表征如下：

　　二、分數產生的現實背景之二--分物

　　⑴用自然數1表示1個物體，把它平均分成若干份，表示其中一份的數，叫做分數單位。

　　⑵用自然數1表示由許多物體組成的一個整體時，把它平均分成若干份，表示其中一份的數，也是分數單位嗎？

　　把8個餅平均分成4份，其中每份都有2個餅。

　　如果把2（部分量）作為度量單位，去度量8（整體）時，量數是4；也就是說，8是2的4倍。

　　如果把8作為單位“1”，去度量2時，量數是；這個分數描述的是同一個量中整體與部分的倍比關系，它本身不是一個量，當然也就不具有充當分數單位的資格。

　　所以，同一個分數，具有兩種不同的意義：一可以用來表示一個量，當它表示量時，它還是計量的單位（分數單位）；二是可以用來表示量數，即表示兩個量（整體與部分）的倍比關系。事實上任何分數都具有這兩種意義。

　　籠統地，把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數，叫做分數單位。這個定義的科學性是值得商榷的。

　　⑶如果把9個餅平均分給4個人，每人分得幾個餅？

　　這個實際問題通常被抽象為下面的數學問題：

　　9平均分成4份，每份多少？

　　解法一：因為1平均分成4份，其中一份是；所以，9平均分成4份，每份是9個，即。算法如下：

　　9÷4＝9×（1÷4）

　　＝9×

　　＝。

　　解法二：9÷4＝2......1，

　　1÷4＝，

　　2＋＝2，

　　所以，9÷4＝2。

　　上述兩種算法，都涉及到一個基本的運算：

　　1÷4＝

　　量÷量數＝度量單位。

　　在教材中，是通過圖形的直觀操作得到結果的，但缺乏對操作過程的內涵抽象與概括，使學生不能看到分數與除法之間的本質聯系。因此，學生的思維只能停留在經驗的層面，他們的理論思維得不到應有的培養和發展。

　　值得指出的是，當我們把實際問題中的“4個人”抽象成“4份”的時候，其中“4”的意義，從表示量（人數）變換成表示量數（份數）了。當我們掌握了比的概念后，上述的實際問題還可以抽象成下面的數學問題：

　　9與4的比的比值是多少？其中9與4的實際意義都沒有改變，它們分別表示兩個不同的量。

　　解：9︰4＝︰1＝。

　　回到實際問題的情境，解釋比值的實際意義，即表示每個人分得個餅。

　　從這個例子，也許可以領略到一點產生比的概念的必要性。

　　三、分數產生的現實背景之三--比較

　　兩個量的比較有兩種圖式：一是兩個量的差比關系（第一學段學習的內容）；二是兩個量的倍比關系（第二學段學習的內容）。

　　⑴一束鮮花，其中5朵白花，10朵紅花。

　　如果以白花的朵數為基準量進行比較，那么紅花的朵數是白花的2倍；如果以紅花的朵數為基準量進行比較，那么白花的朵數是紅花的。這里，2和都是量數，都表示兩個量的倍比關系。

　　上述量與量數之間的對應關系，也可以用下面的線段圖直觀表示：

　　測量中的量、度量單位與量數之間的基本關系，可以衍變為在比較中的量、基準量、量數之間的數量關系，即

　　量＝基準量×量數。

　　⑵按下面的兩種方法配制橙汁飲料：

　　A．4杯純橙汁、3杯礦泉水；

　　B．5杯純橙汁、4杯礦泉水。

　　A、B兩種橙汁飲料，哪種更甜一些？

　　解決這類實際問題一般都有下列兩種思維圖式：

　　①求每杯水平均摻入幾杯純橙汁，摻入純橙汗較多的飲料更甜一些。根據這種思維圖式，以水的杯數為基準量，求純橙汁的杯數是水的幾倍。因此，從實際問題抽象出的數學問題是：比較分數與的大小。

　　解法一：＝，＝。

　　因為＞，所以＞。這個結果說明A種橙汁飲料更甜一些。

　　解法二：＞1.33，＝1.25。

　　因為1.33＞1.25，所以＞。

　　②求每杯純橙汁平均摻入幾杯水，摻入水較少的飲料更甜一些。根據這種思維圖式，以純橙汁的杯數為基準量，求水的杯數是純橙汁的幾倍。因此，從實際問題抽象出的數學問題是，比較分數與的大小。

　　解答這個數學問題也有類似于①中的兩種方法，結果是＜，說明A種飲料摻入的水較少，因此更甜一些。

　　綜上，從分數產生的三種現實背景，可以清楚地看到分數產生于量的倍比關系。分數概念的核心是量、度量單位（基準量）與量數的基本關系，即量＝度量單位（基準量）×量數。

　　因此，分數具有兩種不同的意義：

　　1．分數可以表示量。表示量的分數，它或者是分數單位，或者是分數單位的整數倍。

　　2．分數可以表示量數。量數是以一個量為基準量去度量另一個量所得的結果，它是描述兩個量倍比關系的一個數（自然數或分數）。

　　兩個量的倍比關系又有下面四種類型：

　　①一個量中整體與部分的倍比關系；

　　②同類的兩個量的倍比關系；

　　③一個量中各組成部分的倍比關系；

　　④不同類的兩個量的倍比關系。

　　從類型①和②，可以衍生出百分數的概念；從類型③和④可以衍生出比的概念。

　　量＝基準量×量數，這一基本關系有下面兩個等價的形式：

　　①量÷基準量＝量數；

　　②量÷量數＝基準量。

　　從形式上看，①和②都是兩個數相除，但只有①的情形才可以稱為兩個量的比。各種版本教材關于比都是這樣定義的：“兩個數相除，又叫做這兩個數的比”。這個定義令人困惑，一些學生也提出質疑：“既然兩個數相除又叫做這兩個數的比，那么為什么還要學習比呢？”問的教師無言以對。其實，是這個比的定義有問題，它錯誤地擴大了比的概念的外延。比的定義似乎應該是：“兩個量相除，叫做這兩個量的比”。（2007年2月15日于福州）