關(guān)于百分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)問題與關(guān)于分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)問題，往往具有同構(gòu)性。有關(guān)分?jǐn)?shù)的實(shí)際應(yīng)用有哪些原型，百分?jǐn)?shù)也有相應(yīng)的原型。因此，解決分?jǐn)?shù)有關(guān)實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)與方法可以遷移，用于解決百分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題。

　　解決百分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題，必須掌握一種技能，即小數(shù)、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)之間相互轉(zhuǎn)化的技能。新世紀(jì)版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“合格率”一課，結(jié)合解決實(shí)際問題的過程，探索并掌握小數(shù)、分?jǐn)?shù)怎樣化成百分?jǐn)?shù)的方法與技能；“蛋白質(zhì)含量”是探索并掌握百分?jǐn)?shù)怎樣化成分?jǐn)?shù)或小數(shù)的方法與技能。

　　問題情景1：

　　數(shù)學(xué)問題：43是50的百分之幾？52是60的百分之幾？這兩個百分?jǐn)?shù)誰大？

　　解：43÷50＝

　　＝

　　＝86％。

　　52÷60≈0.867

　　＝86.7％。

　　答：乙牌罐頭合格率高。

　　什么時候通過分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為百分?jǐn)?shù)比較簡便呢？一般地說，當(dāng)除數(shù)是自然數(shù)（0除外），而且它只有2或5因數(shù)時，利用分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)比較簡便。因?yàn)橹挥羞@種分?jǐn)?shù)，利用分?jǐn)?shù)性質(zhì)基本性質(zhì)比較容易轉(zhuǎn)化為分母是100的分?jǐn)?shù)。

　　從上述這個實(shí)際問題可以看到，百分?jǐn)?shù)可以用于不同對象的比較評價。

　　從原來的問題可以編成下列兩道變式問題。

　　變式問題1：抽檢乙牌罐頭，合格的有52箱，合格率約是86.7％，共抽檢了多少箱乙牌罐頭？

　　數(shù)學(xué)問題：什么數(shù)的86.7％等于52？

　　線段圖：

　　解法1：（代數(shù)解法）

　　設(shè)：抽檢了x箱罐頭。

　　86.7％x＝52。

　　解這個方程，得x≈60。

　　答：共抽檢了60箱罐頭。

　　解法2：（算術(shù)解法）

　　52÷86.7％≈60。

　　答：（略）

　　變式問題2：抽檢了60箱乙牌罐頭，合格率約是86.7％，合格的乙牌罐頭有多少箱？

　　數(shù)學(xué)問題：60的86.7％是多少？

　　線段圖：

　　解：60×86.7％≈52。答：（略）

　　數(shù)學(xué)情景2：

　　這個實(shí)際問題中的百分?jǐn)?shù)，反映的是黃豆內(nèi)在營養(yǎng)的結(jié)構(gòu)特征。

　　數(shù)學(xué)問題：250的36％是多少？

　　線段圖：

　　解法1：250×36％＝250×

　　＝90。

　　答：250克黃豆中含90克蛋白質(zhì)。

　　解法2：250×36％＝250×0.36

　　＝90。

　　答：（略）

　　從這個問題，同樣可以改編出兩道變式問題，這里不再陳述。

　　數(shù)學(xué)情景3：春蕾小學(xué)去年畢業(yè)的學(xué)生有160人，今年的畢業(yè)生比去年增加15％，今年畢業(yè)的學(xué)生有多少人？

　　這個實(shí)際問題中的百分?jǐn)?shù)，則是反映事物發(fā)展變化的過程和趨勢。

　　數(shù)學(xué)問題：160增加了15％后是多少？

　　線段圖：

　　解：160×（1＋15％）＝160×

　　＝184。

　　答：今年畢業(yè)的學(xué)生有184人。

　　變式問題1：春蕾小學(xué)今年畢業(yè)的學(xué)生有184人，比去年增加了15％，去年畢業(yè)的學(xué)生有多少人？

　　數(shù)學(xué)問題：什么數(shù)增加了15％后是184？

　　線段圖：

　　解法1：設(shè)：去年畢業(yè)的學(xué)生有x人，

　　（1＋15％）x＝184，

　　x＝184，

　　x＝184×，

　　x＝160。

　　答：（略）

　　解法2：184÷（1＋15％）＝184÷

　　＝184×

　　＝160。

　　答：（略）

　　變式問題2：春蕾小學(xué)去年畢業(yè)的學(xué)生有160人，今年有184人，今年的畢業(yè)的學(xué)生比去年增加百分之幾？

　　數(shù)學(xué)問題：184比160增加了百分之幾？

　　線段圖：

　　解：（184－160）÷160＝

　　＝

　　＝15％。

　　答：（略）

　　變式問題3：春蕾小學(xué)去年畢業(yè)的學(xué)生有160人，比今年的畢業(yè)生少13％，今年畢業(yè)的學(xué)生有多少人？

　　從這個實(shí)際問題能提出什么數(shù)學(xué)問題？用什么樣的線段圖表示這個數(shù)學(xué)問題？怎樣解答？都留給讀者自己完成，并想一想：還能提出新的變式問題，并加以解決嗎？

　　事實(shí)上，百分?jǐn)?shù)的實(shí)際應(yīng)用，是分?jǐn)?shù)乘除法的實(shí)際應(yīng)用的深化和發(fā)展。所以，在掌握好分?jǐn)?shù)乘除法的實(shí)際應(yīng)用的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)的實(shí)際應(yīng)用，兩者將會互相遷移，互相促進(jìn)，相得益彰。

　　請看下表：

　　分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)問題

　　百分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)問題

　　求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾

　　求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾

　　求一個數(shù)的幾分之幾是多少

　　求一個數(shù)的百分之幾是多少

　　求什么數(shù)的幾分之幾等于某數(shù)

　　求什么數(shù)的百分之幾等于某數(shù)

　　求一個數(shù)比另一個數(shù)增加（或減少）了幾分之幾

　　求一個數(shù)比另一個數(shù)增加（或減少）了百分之幾

　　求一個數(shù)增加（或減少）了幾分之幾是多少

　　求一個數(shù)增加（或減少）了百分之幾是多少

　　求什么數(shù)增加（或減少）了幾分之幾等于某數(shù)

　　求什么數(shù)增加（或減少）了百分之幾等于某數(shù)

　　從認(rèn)識分?jǐn)?shù)的意義到認(rèn)識百分?jǐn)?shù)的意義，知識因不斷分化而更為精細(xì)；從分?jǐn)?shù)的實(shí)際應(yīng)用到百分?jǐn)?shù)的實(shí)際應(yīng)用，知識又因融會貫通而變得更為簡單。這就是奧蘇伯爾說的“不斷分化與綜合貫通”的原則，也是華羅庚先生說的，書要從薄讀到厚，又要從厚讀到薄。

　　百分?jǐn)?shù)是一種相對數(shù)，也是一種沒有量綱的無名數(shù)。既是相對數(shù)又是無名數(shù)的，還有系數(shù)、倍數(shù)、成數(shù)、折扣、千分?jǐn)?shù)等。其中倍數(shù)和百分?jǐn)?shù)用途最廣。

　　系數(shù)和倍數(shù)。系數(shù)和倍數(shù)是將對比的基數(shù)抽象化為1而計算出來的相對數(shù)。在兩個數(shù)字對比時，其分子數(shù)值與分母數(shù)值相差不大時，常用系數(shù)表示。如工資等級系數(shù)、固定資產(chǎn)磨損系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)實(shí)物產(chǎn)量的折合系數(shù)等。如果分子的數(shù)值比分母的數(shù)值大很多時，則用倍數(shù)表示。例如，我國1949年鋼產(chǎn)量為15.8萬噸，1985年達(dá)到4679萬噸，為1949年的296.14倍。

　　成數(shù)和折扣。成數(shù)和折扣是將對比的基數(shù)抽象化為10而計算出來的相對數(shù)。如今年糧食產(chǎn)量比去年增長一成以上，即增長以上；按原價的九折購得一臺電腦，即只付這臺電腦原價的的錢。

　　百分?jǐn)?shù)和千分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)是將對比的基數(shù)抽象化為100而計算出來的相對經(jīng)是計算相對指標(biāo)最常用的一種表現(xiàn)形式。通常以符號%表示。在實(shí)際工作中，增長百分?jǐn)?shù)多以百分點(diǎn)表示，存款利率提高了1個百分點(diǎn)，則表明銀行利率提高了百分之一。千分?jǐn)?shù)是將對比的基數(shù)抽象1000而計算出來的相對數(shù)。當(dāng)對比的分子數(shù)值比分母數(shù)值小很多時，宜用千分?jǐn)?shù)表示。如人口出生率、死亡率、人口自然增長率多以千分?jǐn)?shù)表示。

　　人口出生率＝×1000‰。

　　鹽度一般用千分?jǐn)?shù)表示，如海水的含鹽量是3.5‰。

　　存款的月利率用千分?jǐn)?shù)表示，年利率則用百分?jǐn)?shù)表示。如中國銀行人民幣存款利率表，2002年2月21日開始執(zhí)行整存整取一年月利率為1.65‰，年利率為1.95％。如果要計算日利率，還可以用萬分?jǐn)?shù)表示（萬分?jǐn)?shù)不用阿拉伯?dāng)?shù)字表示，直接用漢字表示）。

　　黃金飾品的含金量使用K金、足金（含金量不少于99％）和十足金（含金量不少于999‰，即99.9％）等表示；K金最小值是8K，最大值是24K，但2K只是一個理想值，實(shí)際是不存在的。國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，每K含金量為4.166％，K數(shù)與含金量的關(guān)系式是：

　　Auwt％＝×100％。

　　（2006年10月2日，寫于福州，修改于2007年2月26日）