利用分?jǐn)?shù)乘法的知識(shí)，可以解決日常生活中的很多實(shí)際問題。

　　下面是一個(gè)實(shí)際問題：

　　跳繩的小朋友有6人，是操場(chǎng)上參加活動(dòng)總?cè)藬?shù)的，操場(chǎng)上有多少人參加活動(dòng)？

　　首先，從這個(gè)實(shí)際問題能提出什么數(shù)學(xué)問題呢？（可以用普通語言、圖形語言或符號(hào)語言表示數(shù)學(xué)問題）

　　⑴用普通語言表示：什么數(shù)的等于6？

　　⑵用線段圖表示：

　　06？

　　01

　　⑶用方程表示：

　　如果用x表示操場(chǎng)上活動(dòng)的總?cè)藬?shù)，則

　　x×＝6。

　　一般用普通語言描述的數(shù)學(xué)問題（習(xí)慣地稱為文字題），要轉(zhuǎn)化為圖形或算式或方程，才能求解。

　　根據(jù)⑵，有簡(jiǎn)單的解法：

　　6÷2＝3，

　　3×9＝27（人）。

　　答：操場(chǎng)上有27人參加活動(dòng)。

　　由于還沒學(xué)分?jǐn)?shù)除法，所以，根據(jù)⑴或⑵，學(xué)生不可能直接列出除法算式。

　　根據(jù)⑶，要解方程：x×＝6。

　　x××＝6×，

　　x＝27。

　　檢驗(yàn)：27×＝6，符合題意。

　　答：操場(chǎng)上有27人參加活動(dòng)。

　　我們看到，有了方程，利用分?jǐn)?shù)乘法就可以解決用算術(shù)解法時(shí)要用分?jǐn)?shù)除法才能解決的實(shí)際問題。

　　解決了上述的問題后，如何擴(kuò)大戰(zhàn)果呢？對(duì)原來的問題進(jìn)行變式，提出新的問題，是一個(gè)重要的教學(xué)策略。

　　從上述實(shí)際問題，能改編成哪些問題呢？

　　1．操場(chǎng)上有27人參加各種活動(dòng)，跳繩的小朋友有6人。跳繩的人數(shù)是參加活動(dòng)總?cè)藬?shù)的幾分之幾？

　　從這個(gè)實(shí)際問題提出的數(shù)學(xué)問題是：6就27的幾分之幾？

　　線段圖：

　　0627

　　0？1

　　算式：6÷27＝？

　　解：6÷27＝＝。

　　答：跳繩的人數(shù)是參加活動(dòng)總?cè)藬?shù)的

　　2．操場(chǎng)上有27人參加各種活動(dòng)，跳繩的小朋友是參加活動(dòng)總?cè)藬?shù)的。跳繩的小朋友多少人？

　　從這個(gè)實(shí)際問題提出的數(shù)學(xué)問題是：27的是多少？

　　線段圖：

　　0？27

　　01

　　算式：27×＝？

　　解：27×＝＝6。

　　答：跳繩的人數(shù)有6人。

　　上面一個(gè)實(shí)際問題及其兩個(gè)變式問題，事實(shí)上就是分?jǐn)?shù)乘除法解決實(shí)際問題的三個(gè)原型。把這三個(gè)原型安排在同一節(jié)解決問題的課時(shí)里，有利于比較它們的異同點(diǎn)。特別是從上面三幅線段圖，很容易發(fā)現(xiàn)和把握它們所對(duì)應(yīng)的三個(gè)原型問題的聯(lián)系與區(qū)別，從而促進(jìn)知識(shí)的綜合貫通和深化發(fā)展。

　　掌握分?jǐn)?shù)乘法解決問題的三個(gè)基本原型后，實(shí)際問題還要向綜合應(yīng)用的方向發(fā)展。

　　（一）分?jǐn)?shù)同級(jí)的混合運(yùn)算

　　數(shù)學(xué)情景：

　　航模小組有多少人？

　　在這個(gè)數(shù)學(xué)情景中，信息豐富，已知數(shù)與未知數(shù)之間的關(guān)系也比較復(fù)雜。要求航模小組的人數(shù)，先要求出攝影小組的人數(shù)。對(duì)于信息較多的問題，利用線段圖來整理、描述已知與未知之間的關(guān)系，是分析問題與解決問題的重要策略：

　　0？12

　　01

　　0？？

　　01

　　在這個(gè)問題中，有兩個(gè)不同的基準(zhǔn)量（即單位“1”）：以氣象小組的人數(shù)為基準(zhǔn)去度量攝影小組的人數(shù)時(shí)，量數(shù)是；以攝影人數(shù)為基準(zhǔn)去度量航模小組的人數(shù)時(shí)，量數(shù)是。所以，這個(gè)問題包含兩個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題。

　　解法1：（分步列式）

　　12×＝4，

　　4×＝3。

　　答：航模小組的人數(shù)是3人。

　　解法2：（綜合列式）

　　12××＝4×＝3。

　　答：（略）

　　有數(shù)學(xué)教育的研究表明，列綜合算式的思維并不見得比分步解決問題的思維高明。呈現(xiàn)綜合列式的解法，主要為了說明：分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的順序與整數(shù)混合運(yùn)算的順序一樣。

　　解決這個(gè)問題還有一種重要思路，即統(tǒng)一基準(zhǔn)。為此，需要從提出并解決下面的數(shù)學(xué)問題入手：

　　航模小組人數(shù)的是氣象小組的幾分之幾呢？

　　線段圖：

　　0？

　　01

　　解法3：（分步列式）

　　×＝表示航模小組人數(shù)是氣象小組的，

　　12×＝3。

　　答：（略）

　　解法4：（綜合列式）

　　12×（×）＝12×＝3。

　　答：（略）

　　解法3、解法4的關(guān)鍵，是單位“1”的轉(zhuǎn)換。這種數(shù)學(xué)思考的抽象水平比前面的解法要高些；一旦理解了，就開竅了。

　　同樣，上述課外小組的實(shí)際問題，也可以改編為變式問題。如：

　　變式問題1：航模小組有3人，是攝影小組人數(shù)的，攝影小組人數(shù)是氣象小組的，氣象小組有多少人？

　　表征這個(gè)實(shí)際問題的線段圖，留給讀者自己畫。

　　解法1：（代數(shù)解法）

　　設(shè)：氣象小組人數(shù)有x人，則攝影小組的人數(shù)有x人。

　　×x＝3，

　　x＝3，

　　x＝12。

　　答：（略）

　　如果學(xué)過分?jǐn)?shù)除法，還有下面的算術(shù)解法。

　　解法2：

　　3÷÷＝3××3＝12。

　　答：（略）

　　變式問題2：攝影小組有4人，是氣象小組人數(shù)的，是航模小組人數(shù)的，航模小組有多少人？

　　這個(gè)變式問題的線段圖表征及解法，都留給讀者自己完成。

　　事實(shí)上，還可以編出更多的變式問題。

　　（二）分?jǐn)?shù)不同級(jí)的混合運(yùn)算

　　分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用還有一個(gè)重要的情形，即增加或減少幾分之幾的問題。

　　看下面的數(shù)學(xué)情景：

　　第十屆動(dòng)物車展，第一天成交量是65輛，第二天成交量比第一天增加了，第二天的成交量是多少？

　　從這個(gè)實(shí)際問題提出的數(shù)學(xué)問題是：65增加了是多少？

　　線段圖：

　　065？

　　01

　　解法1：（先求第二天增加多少輛）

　　65×＝13，

　　65＋13＝78。答：（略）

　　解法2：（先求第二天是第一天的幾倍）

　　1＋＝，

　　65×＝78。答：（略）

　　以上兩種解法，都可以列成相應(yīng)的綜合算式（這里從略）。更為重要的挑戰(zhàn)是，從這個(gè)實(shí)際問題能提出哪些變式問題，并加以解決。

　　變式問題1：第一天成交量是65輛，第二天成交是78輛，第二天的成交量比第一天增加了幾分之幾？

　　變式問題2：第二天成交量是78輛，比第一天增加了，第一天的成交量是多少？

　　變式問題3：第一天成交量是65輛，第二天成交量比第一天減少了，第二天的成交量是多少？

　　從變式問題3，又可以提出兩個(gè)變式問題。

　　這些變式問題如何用線段圖表征，怎樣解答，都留給讀者自己完成。

　　有人認(rèn)為，新世紀(jì)版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的習(xí)題量不夠。其實(shí)，如果重視習(xí)題的變式教學(xué)，并教會(huì)學(xué)生變式的方法，那么教材中的基本習(xí)題就成為豐富的變式問題的源泉，還用愁習(xí)題太少嗎？

　　變式教學(xué)是我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)好傳統(tǒng)，必須把它繼承下來，并發(fā)揚(yáng)光大。變式教學(xué)還有很多優(yōu)點(diǎn)，如，變式教學(xué)不但能提高教學(xué)效率，而且在變式的變化中，能夠突出不變性，這不變性往往就是數(shù)學(xué)本質(zhì)的東西，就是數(shù)學(xué)的規(guī)律性所在。