第十四講 列方程解應(yīng)用題

   在小學(xué)數(shù)學(xué)中介紹了應(yīng)用題的算術(shù)解法及常見(jiàn)的典型應(yīng)用題。然而算術(shù)解法往往局限于從已知條件出發(fā)推出結(jié)論，不允許未知數(shù)參加計(jì)算，這樣，對(duì)于較復(fù)雜的應(yīng)用題，使用算術(shù)方法常常比較困難。而用列方程的方法，未知數(shù)與已知數(shù)同樣都是運(yùn)算的對(duì)象，通過(guò)找出“未知”與“已知”之間的相等關(guān)系，即列出方程（或方程組），使問(wèn)題得以解決。所以對(duì)于應(yīng)用題，列方程的方法往往比算術(shù)解法易于思考，易于求解。

　　列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：審題，設(shè)未知數(shù)，找出相等關(guān)系，列方程，解方程，檢驗(yàn)作答。其中列方程是關(guān)鍵的一步，其實(shí)質(zhì)是將同一個(gè)量或等量用兩種方式表達(dá)出來(lái)，而要建立這種相等關(guān)系必須對(duì)題目作細(xì)致分析，有些相等關(guān)系比較隱蔽，必要時(shí)要應(yīng)用圖表或圖形進(jìn)行直觀分析。

14.1  列簡(jiǎn)易方程解應(yīng)用題

　　10x+1，從而有 

　　3（105+x）=10x+1，

　　　　 　7x＝299999，

　　 　　　 x＝42857。

　　答：這個(gè)六位數(shù)為142857。

　　說(shuō)明：這一解法的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：

　　示出來(lái)，這里根據(jù)題目的特點(diǎn)，采用“整體”設(shè)元的方法很有特色。

　�。�1）是善于分析問(wèn)題中的已知數(shù)與未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系；（2）是一般語(yǔ)言與數(shù)學(xué)的形式語(yǔ)言之間的相互關(guān)系轉(zhuǎn)化。因此，要提高列方程解應(yīng)用題的能力，就應(yīng)在這兩方面下功夫。

　　例2 有一隊(duì)伍以1.4米/秒的速度行軍，末尾有一通訊員因事要通知排頭，于是以2.6米/秒的速度從末尾趕到排頭并立即返回排尾，共用了10分50秒。問(wèn)：隊(duì)伍有多長(zhǎng)？

　　分析：這是一道“追及又相遇”的問(wèn)題，通訊員從末尾到排頭是追及問(wèn)題，他與排頭所行路程差為隊(duì)伍長(zhǎng)；通訊員從排頭返回排尾是相遇問(wèn)題，他與排尾所行路程和為隊(duì)伍長(zhǎng)。如果設(shè)通訊員從末尾到排頭用了x秒，那么通訊員從排頭返回排尾用了（650-x）秒，于是不難列方程。

　　解：設(shè)通訊員從末尾趕到排頭用了x秒，依題意得

　　2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。

　　解得x＝500。推知隊(duì)伍長(zhǎng)為

　�。�2.6-1.4）×500=600（米）。

　　答：隊(duì)伍長(zhǎng)為600米。

　　說(shuō)明：在設(shè)未知數(shù)時(shí)，有兩種辦法：一種是設(shè)直接未知數(shù)，求什么、設(shè)什么；另一種設(shè)間接未知數(shù)，當(dāng)直接設(shè)未知數(shù)不易列出方程時(shí)，就設(shè)與要求相關(guān)的間接未知數(shù)。對(duì)于較難的應(yīng)用題，恰當(dāng)選擇未知數(shù)，往往可以使列方程變得容易些。

　　例3 鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上，有一行人與騎車(chē)人同時(shí)向南行進(jìn)，行人速度為3.6千米/時(shí)，騎車(chē)人速度為10.8千米/時(shí)，這時(shí)有一列火車(chē)從他們背后開(kāi)過(guò)來(lái)，火車(chē)通過(guò)行人用22秒，通過(guò)騎車(chē)人用26秒，這列火車(chē)的車(chē)身總長(zhǎng)是多少？

　　分析：本題屬于追及問(wèn)題，行人的速度為3.6千米/時(shí)=1米/秒，騎車(chē)人的速度為10.8千米/時(shí)=3米/秒�；疖�(chē)的車(chē)身長(zhǎng)度既等于火車(chē)車(chē)尾與行人的路程差，也等于火車(chē)車(chē)尾與騎車(chē)人的路程差。如果設(shè)火車(chē)的速度為x米/秒，那么火車(chē)的車(chē)身長(zhǎng)度可表示為（x-1）×22或（x-3）×26，由此不難列出方程。

　　解：設(shè)這列火車(chē)的速度是x米/秒，依題意列方程，得

　�。�x-1）×22=（x-3）×26。

　　解得x=14。所以火車(chē)的車(chē)身長(zhǎng)為

　�。�14-1）×22=286（米）。

　　答：這列火車(chē)的車(chē)身總長(zhǎng)為286米。

　　例4 如圖，沿著邊長(zhǎng)為90米的正方形，按逆時(shí)針?lè)较�，甲�?/span>A出發(fā)，每分鐘走65米，乙從B出發(fā)，每分鐘走72米。當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)在正方形的哪一條邊上？

　　分析：這是環(huán)形追及問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題可以先看成“直線”追及問(wèn)題，求出乙追上甲所需要的時(shí)間，再回到“環(huán)行”追及問(wèn)題，根據(jù)乙在這段時(shí)間內(nèi)所走路程，推算出乙應(yīng)在正方形哪一條邊上。

　　解：設(shè)追上甲時(shí)乙走了x分。依題意，甲在乙前方

　　3×90=270（米），

　　故有

　　72x＝65x+270。

　　由于正方形邊長(zhǎng)為90米，共四條邊，故由

　　可以推算出這時(shí)甲和乙應(yīng)在正方形的DA邊上。

　　答：當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)在正方形的DA邊上。