5.2  分解質因數

　　一個整數，它的約數只有1和它本身，就稱為質數（也叫素數）.例如，2，5，7，101，….一個整數除1和它本身外，還有其他約數，就稱為合數.例如，4，12，99，501，….1不是質數，也不是合數.也可以換一種說法，恰好只有兩個約數的整數是質數，至少有3個約數的整數是合數，1只有一個約數，也就是它本身.

　　質數中只有一個偶數，就是2，其他質數都是奇數.但是奇數不一定是質數，例如，15，33，….

　　例9 ○＋（□+△）=209.

　　在○、□、△中各填一個質數，使上面算式成立.

　　解：209可以寫成兩個質數的乘積，即

　　209＝11×19.

　　不論○中填11或19，□+△一定是奇數，那么□與△是一個奇數一個偶數，偶質數只有2，不妨假定△內填2.當○填19，□要填9，9不是質數，因此○填11，而□填17.

　　這個算式是 11×（17＋2）＝209，

　　11×（2＋17）＝ 209.

　　解例9的首要一步是把209分解成兩個質數的乘積.把一個整數分解成若干個整數的乘積，特別是一些質數的乘積，是解決整數問題的一種常用方法，這也是這一節所講述的主要內容.

　　一個整數的因數中，為質數的因數叫做這個整數的質因數，例如，2，3，7，都是42的質因數，6，14也是42的因數，但不是質因數.

　　任何一個合數，如果不考慮因數的順序，都可以唯一地表示成質因數乘積的形式，例如

　　360＝2×2×2×3×3×5.

　　還可以寫成360＝23×32×5.

　　這里23表示3個2相乘，32表示2個3相乘.在23中，3稱為2的指數，讀作2的3次方，在32中，2稱為3的指數，讀作3的2次方.

　　例10 有四個學生，他們的年齡恰好是一個比一個大1歲，而他們的年齡的乘積是5040，那么，他們的年齡各是多少？

　　解：我們先把5040分解質因數

　　5040＝24×32×5×7.

　　再把這些質因數湊成四個連續自然數的乘積：

　　24×32×5×7＝7×8×9×10.

　　所以，這四名學生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲.

　　利用合數的質因數分解式，不難求出該數的約數個數（包括1和它本身）.為尋求一般方法，先看一個簡單的例子.

　　我們知道24的約數有8個：1，2，3，4，6，8，12，24.對于較大的數，如果一個一個地去找它的約數，將是很麻煩的事.

　　因為24＝23×3，所以24的約數是23的約數（1，2，22，23）與3的約數（1，3）之間的兩兩乘積.

　　1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.

　　這里有4×2＝8個，即 （3＋1）×（1＋1）個，即對于24＝23×3中的23，有（3＋1）種選擇：1，2，22，23，對于3有（1＋1）種選擇.因此共有（3＋1）×（1＋1）種選擇.

　　這個方法，可以運用到一般情形，例如，

　　144＝24×32.

　　因此144的約數個數是（4＋1）×（2+1）＝15（個）.

　　例11 在100至150之間，找出約數個數是8的所有整數.

　　解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）×（1＋1）兩種情況.

　　（1）27＝128，符合要求，

　　37＞150，所以不再有其他7次方的數符合要求.

　　（2）23＝8，

　　8×13＝104， 8×17＝136，符合要求.

　　33＝27；

　　只有27×5＝135符合要求.

　　53＝135，它乘以任何質數都大于150，因此共有4個數合要求：128，104，135，136.

　　利用質因數的分解可以求出若干個整數的最大公約數和最小公倍數.先把它們各自進行質因數分解，例如

　　720＝24×32×5，168＝23×3×7.

　　那么每個公共質因數的最低指數次方的乘積就是最大公約數，上面兩個整數都含有質因數2，較低指數次方是23，類似地都含有3，因此720與168的最大公約數是

　　23×3＝ 24.

　　在求最小公倍數時，很明顯每個質因數的最高指數次方的乘積是最小公倍數.請注意720中有5，而168中無5，可以認為較高指數次方是51=5.720與168的最小公倍數是

　　24×32×5×7＝5040.

　　例12 兩個數的最小公倍數是180，最大公約數是30，已知其中一個數是90，另一個數是多少？

　　解：180＝22×32×5，

　　30＝2×3×5.

　　對同一質因數來說，最小公倍數是在兩數中取次數較高的，而最大公約數是在兩數中取次數較低的，從22與2就知道，一數中含22，另一數中含2；從32與3就知道，一數中含32，另一數中含3，從一數是

　　90＝2×32×5.

　　就知道另一數是

　　22×3×5＝60.

　　還有一種解法：

　　另一數一定是最大公約數30的整數倍，也就是在下面這些數中去找

　　30， 60， 90， 120，….

　　這就需要逐一檢驗，與90的最小公倍數是否是180，最大公約數是否是30.現在碰巧第二個數60就是.逐一去檢驗，有時會較費力.

　　例13 有一種最簡真分數，它們的分子與分母的乘積都是420.如果把所有這樣的分數從小到大排列，那么第三個分數是多少？

　　解：把420分解質因數

　　420＝2×2×3×5×7.

　　為了保證分子、分母不能約分（否則約分后，分子與分母的乘積不再是420了），相同質因數（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子應小于分母.分子從小到大排列是

　　1，3，4，5，7，12，15，20.

　　分子再大就要超過分母了，它們相應的分數是

　　兩個整數，如果它們的最大公約數是1.就稱這兩個數是互質的.

　　例13實質上是把420分解成兩個互質的整數.

　　利用質因數分解，把一個整數分解成若干個整數的乘積，是非常基本又是很有用的方法，再舉三個例題.

　　例14 將8個數6，24，45，65，77，78，105，110分成兩組，每組4個數，并且每組4個數的乘積相等，請寫出一種分組.

　　解：要想每組4個數的乘積相等，就要讓每組的質因數一樣，并且相同質因數的個數也一樣才行.把8個數分解質因數.

　　6＝2×3， 24＝23×3，

　　45＝32×5， 65＝5×13，

　　77＝7×11， 78＝2×3×13，

　　105＝3×5×7， 110＝2×5×11.

　　先放指數最高的質因數，把24放在第一組，為了使第二組里也有三個2的因子，必須把6，78，110放在第二組中，為了平衡質因數11和13，必須把77和65放在第一組中.看質因數7，105應放在第二組中，45放在第一組中，得到

　　第一組：24，65，77，45.

　　第二組：6，78，110，105.

　　在講述下一例題之前，先介紹一個數學名詞--完全平方數.

　　一個整數，可以分解成相同的兩個整數的乘積，就稱為完全平方數.

　　例如：4＝2×2， 9＝3×3， 144＝12×12， 625＝25×25.4，9，144，625都是完全平方數.

　　一個完全平方數寫出質因數分解后，每一個質因數的次數，一定是偶數.

　　例如：144＝32×42， 100＝22×52，…

　　例15 甲數有9個約數，乙數有10個約數，甲、乙兩數最小公倍數是2800，那么甲數和乙數分別是多少？

　　解：一個整數被它的約數除后，所得的商也是它的約數，這樣的兩個約數可以配成一對.只有配成對的兩個約數相同時，也就是這個數是完全平方數時，它的約數的個數才會是奇數.因此，甲數是一個完全平方數.

　　2800＝24×52×7.

　　在它含有的約數中是完全平方數，只有

　　1，22，24，52，22×52，24×52.

　　在這6個數中只有22×52＝100，它的約數是（2＋1）×（2+1）＝9（個）.

　　2800是甲、乙兩數的最小公倍數，上面已算出甲數是100＝22×52，因此乙數至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（個）約數，從而乙數就是112.

　　綜合起來，甲數是100，乙數是112.

　　例16 小明買紅藍兩種筆各1支共用了17元.兩種筆的單價都是整元，并且紅筆比藍筆貴.小強打算用35元來買這兩種筆（也允許只買其中一種），可是他無論怎么買都不能把35元恰好用完，問紅筆、藍筆每支各多少元？

　　解：35＝5×7.紅、藍的單價不能是5元或7元（否則能把35元恰好用完），也不能是17-5＝12（元）和17-7＝10（元），否則另一種筆1支是5元或7元.

　　記住：對筆價來說，已排除了5，7，10，12這四個數.

　　筆價不能是35-17=18（元）的約數.如果筆價是18的約數，就能把18元恰好都買成筆，再把17元買兩種筆各一支，這樣就把35元恰好用完了.因此筆價不能是18的約數：1，2，3，6，9.

　　當然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11， 17-9＝8.現在筆價又排除了：

　　1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.

　　綜合兩次排除，只有4與13未被排除，而4＋13＝17，就知道紅筆每支 13元，藍筆每支 4元.