3.2  枚舉法

　　枚舉法（也稱為窮舉法）是把討論的對象分成若干種情況（分類），然后對各種情況逐一討論，最終解決整個問題。

　　運用枚舉法有時要進行恰當的分類，分類的原則是不重不漏。正確的分類有助于暴露問題的本質，降低問題的難度。數論中最常用的分類方法有按模的余數分類，按奇偶性分類及按數值的大小分類等。

　　例6 求這樣的三位數，它除以11所得的余數等于它的三個數字的平方和。

　　分析與解：三位數只有900個，可用枚舉法解決，枚舉時可先估計有關量的范圍，以縮小討論范圍，減少計算量。

　　設這個三位數的百位、十位、個位的數字分別為x，y，z。由于任何數除以11所得余數都不大于10，所以

　　x2+y2+z2≤10，

　　從而1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3。所求三位數必在以下數中：

　　100，101，102，103，110，111，112，

　　120，121，122，130，200，201，202，

　　211，212，220，221，300，301，310。

　　不難驗證只有100，101兩個數符合要求。

　　例7 將自然數N接寫在任意一個自然數的右面（例如，將2接寫在35的右面得352），如果得到的新數都能被N整除，那么N稱為魔術數。問：小于2000的自然數中有多少個魔術數？

　　對N為一位數、兩位數、三位數、四位數分別討論。

N|100，所以N=10，20，25，50；

N|1000，所以N=100，125，200，250，500；

　　（4）當N為四位數時，同理可得N=1000，1250，2000，2500，5000。符合條件的有1000，1250。

　　綜上所述，魔術數的個數為14個。

　　說明：（1）我們可以證明：k位魔術數一定是10k的約數，反之亦然。

　　 　　 （2）這里將問題分成幾種情況去討論，對每一種情況都增加了一個前提條件，從而降低了問題的難度，使問題容易解決。

例8 有3張撲克牌，牌面數字都在10以內。把這3張牌洗好后，分別發給小明、小亮、小光3人。每個人把自己牌的數字記下后，再重新洗牌、發牌、記數，這樣反復幾次后，3人各自記錄的數字的和順次為13，15，23。問：這3張牌的數字分別是多少？

解：13+15+23=51，51=3×17。

　　因為17＞13，摸17次是不可能的，所以摸了 3次， 3張撲克牌數字之和是17，可能的情況有下面15種：

　　①1，6，10 　②1，7，9 　③1，8，8 

　　④2，5，10 　⑤2，6，9 　⑥2，7，8 

　　⑦3，4，10 　⑧3，5，9 　⑨3，6，8 

　　⑩3，7，7 　(11)4，4，9 (12)4，5，8

　　(13)4，6，7 (14)5，5，7 (15)5，6，6

　　只有第⑧種情況可以滿足題目要求，即

　　3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。

　　這3張牌的數字分別是3，5和9。

例9 寫出12個都是合數的連續自然數。

　　分析一：在尋找質數的過程中，我們可以看出100以內最多可以寫出7個連續的合數：90，91，92，93，94，95，96。我們把篩選法繼續運用下去，把考查的范圍擴大一些就行了。

解法1：用篩選法可以求得在113與127之間共有12個都是合數的連續自然數：

　　114，115，116，117，118，119，120，

　　121，122，123，124，125，126。

　　分析二：如果12個連續自然數中，第1個是2的倍數，第2個是3的倍數，第3個是4的倍數……第12個是13的倍數，那么這12個數就都是合數。

　　又m+2，m+3，…，m+13是12個連續整數，故只要m是2，3，…，13的公倍數，這12個連續整數就一定都是合數。

解法2：設m為2，3，4，…，13這12個數的最小公倍數。m+2，m+3，m+4，…，m+13分別是2的倍數，3的倍數，4的倍數……13的倍數，因此12個數都是合數。

　　說明:我們還可以寫出

　　13！+2，13！+3，…，13！+13

　　（其中n！=1×2×3×…×n）這12個連續合數來。

　　同樣，

　　（m+1）！+2，（m+1）！+3，…，（m+1）！+m+1是m個連續的合數。