面對書本，如果對知識沒有了質疑，對挑戰沒有了渴望，對自我沒有了信心，那么學習的過程就沒有了驚嘆，沒有了思辨，沒有了期待，沒有了樂趣—那不是我想要的課堂。

　　變故突生，課堂遭遇意外

　　圓錐體積的推導，最常用的就是倒三次水的方法，清楚明白地發現圓錐的體積是等底等高的圓柱體積的三分之一。小學6年級的時候，我學過一次，等我當了教師，我教過學生兩次。今天還是上這節課，輕車熟路，實驗和講解都很順利，學生開始做練習了。

　　過了一會兒，教室里有了些不和諧的聲音，起先還壓抑著，后來掩不住興奮炸裂開來。兩個臉漲得通紅的男同學，高聲叫著，“二分之一！是二分之一！你看。”“孫老師”，其中叫范托的學生激動地說：“你先看，這個三角形的面積是不是這個長方形的一半？”一個涂得臟兮兮的長方形，以及一個沿這個長方形的對角線對折后剪下來的三角形出現在我眼前(如圖一)。

　　“對呀。”

　　“那這個呢？”他又拿出和剛才相同的兩個圖形。

　　“也是呀。”

　　“這樣兩個疊起來，兩個三角形的體積是不是兩個長方形的一半。”

　　“是呀。”

　　“那3個、4個、很多個疊起來呢？”

　　“也是二分之一啊。”

　　“那就對了。”他得意地說，接著開始演示，他把一個長方形和一個三角形粘在一起，以一條寬為軸，用手撥動另外一邊旋轉360度（如圖三），撥一下，數一下，“1張、2張、3張…… 一起轉的，那張數是一樣多，長方形轉一圈就是圓柱,三角形轉一圈就是圓錐,那圓錐的體積不就是圓柱的二分之一嗎?”

　　教室里突然靜了下來，部分學生已經停下了對作業的討論，盯著講臺上的三角形碎片想著剛才的推論。

　　太突然了，我深吸一口氣讓自己保持鎮定，頭腦中迅速地調動相關知識：旋轉成形的任一瞬間，三角形的面積都是長方形的二分之一，由于是同步旋轉，因此旋轉的度數完全相同，也就是說，累計疊加的個數也完全相同，因此，由無數個三角形旋轉疊加而成的圓錐的體積，應該就是由同樣多個數的長方形旋轉疊加而成的圓柱的體積的二分之一！天哪，這個推理好像是天衣無縫，面對人們信之不移的“規律性知識”，不同的方法怎么出現了不同的結論！應該是三分之一啊，怎么辦？我知道我的學生此刻都在盯著我。兩分鐘后，終于有人忍不住開了口，教室里炸開了鍋。“書上印錯了！”“倒水的時候，3次根本就沒有倒滿，不是三分之一，應該是二分之一啊！”“范托，你好厲害！”而我，只能暫時眼睜睜地看著他們，因為我確實無法當堂反饋這個推理的邏輯漏洞。

　　尋根索源，問題從何而來

　　1.實驗不精確埋下了問題的種子。實驗用的圓柱量杯和圓錐量斗外表面比較時，確實是等底等高，但由于透明塑料有一定的厚度，實際上圓錐的容積要略微小于圓柱容積的三分之一，因此，每次裝的水倒入量杯的時候，總會比三等分的刻度線稍微低一點。3次倒水完成后，離杯口還差一點距離。通常的做法就是簡單地向學生解釋一下，是實驗誤差，學生也能接受。但在喜歡較真的學生心里卻埋下了問題的種子，思量著是否有其他的推理方法來驗證甚至推翻這個結論。

　　2.知識漸豐使得問題萌發。學生會想到用疊加的方法雖然出乎意料，卻不是偶然的，雖然教材中沒有要求，但在面積體積的教學中，我鋪墊了有關點線面三者之間演變的過程，那時是為了幫助他們更好地理解概念：把點一個個沿一定的方向密密麻麻地排列，就形成了線，線段的長度可以理解為點的個數；把同樣長度的線段沿一定的方向平行疊加排列，就形成一個面，線的條數可以理解為所形成的長方形的寬，長方形的面積＝線的長度×線的條數＝長×寬；大小相同的面，一層層往上疊加形成柱體，面的層數可以理解為柱體的高。柱體體積＝底面面積×面的層數＝底面面積×高。沒想到，埋下的種子，卻在這里生根發了芽。

　　3.求知欲和好勝心強促使問題“爆發”。6年級的孩子叛逆心強，不滿現實,充滿幻想，喜歡挑戰權威，又追求新奇。平時班級競賽中又多以解答方法巧妙而論勝負，導致學生尤其是優秀學生群中，以與眾不同為榮。他們學有余力，專門喜歡研究冷門解法，以彰顯自己的實力。

　　面對生成，教師如何應對

　　1.錯誤的過程比正確的結果更重要。

　　現代數學教學更關注過程的價值，關注學生學習的體驗和感受。學生良好的情感態度和價值觀的獲得也是一項教學目標，一定程度上，這比知識和技能的掌握更重要。我知道學生的結論是錯誤的，但我無法解釋，那么，對于這個過程的思辨和探究是否該停止呢？從知識習得的角度說，學生是失敗的，繼續研究討論錯誤的結論是沒有必要的。但從另一個角度來看，學生是成功的，因為他們不僅參與了數學活動，獲得了親身體驗，而且在正確與錯誤的思維交鋒中，迫使他們不斷調整、完善、重塑頭腦中的數學知識結構和數學思維方式。只有經過深入討論研究，真正弄清了錯誤的根源所在，才能更深刻地體會正確之“正”的真正意義。就算反復考慮后仍無法解答，留一個問號在腦子里，隨時思量，也是一件不錯的事情。這個探究的過程，就是學生自我進步的過程。當然，這個討論的過程如果放在課后小范圍中繼續進行，更能協調好班級整體發展與個人發展的關系。

　　2.學生思維的鍛煉比教師的智慧形象更重要。

　　教學真的是一條奇幻旅程，如果沒有平日里對他們算法多樣化的“縱容”，他們就會毫不猶豫地接受書本上的定論，也就不會旁生枝節，搞出這樣一個至今還令我無法解釋的問題。那么，今天站在課堂上的我依然是一個學識淵博的“不倒問”，照這樣的邏輯推理，是我自己給自己制造了麻煩，后悔嗎？

　　不！不后悔！這件事情確實讓我有所震動。教師之所以有權威，其中一個重要的原因是教師在某些方面比學生知識淵博，兩者之間知識相差的距離越大，權威感就越強，因此對教師自身業務的提高也就提出了更高的要求。現在學生獲取知識的途徑越來越多，學習的速度越來越快，如果把現在教師和學生之間的知識差看作一個固定的數，那如何來減緩這個差距縮小的速度呢？是控制學生的學習速度，讓自己可以悠閑地吸收新知識？還是想盡辦法激發他們體內的智慧能量，然后在他們的窮追猛跑下策馬狂奔？我想，我的選擇肯定是后者。

　　課后，為了這個問題我查看了七八本書，還請教了教研員和數學學科方面的專家，在他們的指導下，總算對這個問題有了進一步深入的理解:我們一直從面的角度在考慮，無限分割成面后，把任意一個面沿對角線平分，那么三角形x和三角形y的面積相等(如圖四)，因此旋轉累加后，三角形x所形成的體與三角形y所形成的體也是體積相同的，因此學生的“二分之一說”似乎是有根據的。但事實上，旋轉成形和線形疊加成形是不同的。旋轉時，旋轉的角度雖然一定，但旋轉點離中心點的位置不同，實際移動的距離也是不同的。打個比方，在旋轉面的一條邊上取兩個點j和k，旋轉同樣的角度時，j所移動的距離要明顯的大于k所移動的距離（如圖五）。

　　也就是說，在每個旋轉瞬間形成的是中間薄、外端厚，底面是扇形的柱體（如圖六）。把它沿著AEF這個面分割，三角形x沿AB軸旋轉所形成的四面體是ABEF,三角形y沿AB軸旋轉所形成的五面體是ACDEF,從體積的角度看，這兩個部分的底面完全相同，是一個扇形，但分開比較后可以發現，三角形x沿軸AB旋轉所形成的體，以軸AB為高度最大處的厚度（如圖七），而三角形y沿軸AB旋轉所形成的體是以弧面CDEF為高度最大處的厚度（如圖八），兩者的體積進行比較顯而易見是后者比較大。由此推論，“二分之一說”就不能成立了。

　　如果能證明五面體ACDEF的體積正好是四面體ABEF的兩倍，那倒可以成為圓錐體積“三分之一說”的另一種證明方法，可惜弧面的計算方法是我未曾涉獵的知識，這次被學生問住開始促使我重新審視自己的知識結構，我所擁有的知識還遠遠不夠啊！

　　復雜問題，怎樣深入淺出

　　學生期盼的解答終于揭開面紗，但這么復雜的解釋想讓6年級的學生接受似乎有點困難，得想個好方法。

　　那天我走進教室的時候，手中多了1個圓形蛋糕。我先借用范托的道具演示了一番，讓學生清楚感受到形成的是1個圓柱體，然后拿出蛋糕，“我們來切一個面看看”，我從圓心出發切了1刀，讓學生想象切面是什么形狀，學生想到了，是長方形，只不過藏在里面。“30個這樣的長方形疊加呢？”我拿出了另外的30個大小相同的長方形追問。“是長方體。”學生毫不猶豫地回答，我按他們的意思疊加了一遍，果然是長方體。接著我不緊不慢地說，“如果旋轉了一度算一片，旋轉30度左右，該切在哪里啊？“很多學生自告奮勇來切，一塊蛋糕就切下來了。“觀察，你發現了什么？”在兩個物體的比較中學生很快明白了直線疊加和旋轉疊加的不同（如圖九）：直線疊加兩端同時增厚，而旋轉疊加一端增厚，沿軸的一端厚度卻一直沒有發生變化。我乘勝追擊,“適合直線疊加的推論就不一定會適合旋轉疊加，因為有一部分被互相‘擠’掉了。”說的時候我還特地使勁捏了捏長方體的一端。有些學生開始醒悟了，小聲地說“那就不一定是二分之一了。”

　　“這就滿足了啊！那我的蛋糕不是浪費了嗎？”我故意賣了個關子，學生頓時來了精神。“還有什么？”我拿起切下的那塊蛋糕，“這個面是長方形吧？沿對角線一分是兩個一模一樣的三角形吧？好，沿這條對角線把蛋糕切開，兩塊一樣大嗎？”學生中起了爭論，不一會兒就只剩下一種聲音，當蛋糕被我用上面的方法切開來后，學生終于明白：用面的方法來思考體，是不周到的。當那兩個他們說不出形狀的體真實地擺在他們面前時，他們已經明白了錯誤的原因，那個我也無法用他們現在所能理解的數學語言來解釋的原因。

　　學生驚嘆的眼神讓我獲得了巨大的滿足，多日來的辛苦也似乎有了最大的補償。學然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自省也；知困，然后能自強。從今后，瘋狂旋轉的或許不再只是孤獨的三角形！