1.三邊均為整數，且最長邊為11的三角形有多少個？

　　參考答案：

　　11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1;

　　11,10,10;11,10,9;...11,10,2;

　　11,9,9;...11,9,3;

　　11,8,8;...11,8,4;

　　11,7,7,...11,7,5;

　　11,6,6;

　　1+3+5+7+9+11=6^2=36

　　如果將11改為n的話，

　　n=2k-1時，為k^2個三角形；

　　n=2k時，為(k+1)k個三角形。

　　2.已知各項均為正整數的算術級數，其中一項是完全平方數，證明：此級數一定含有無窮多個完全平方數．

　　參考答案

　　證明：首先由級數各項為正可知公差d>=0,d=0,則a1=a2=a3=...=an=...所以只要有一項為完全平方數，所有項均為完全平方數，由于級數的項數為無限，所以命題得證。

　　d>0，時d一定為正整數。不妨設第i項為完全平方數ai=k^2(i=1,2,3,...),則ai+(2k+d)d=k^2+2kd+d^2=(k+d)^2,也為完全平方數，所以第i+(2k+d)d項為完全平方數，一般的有i+(2nk+n^2d)(n=1,2,3,...)項均為完全平方數（數學歸納法的證明略），由于n可取無窮項，所以命題得證。

　　綜上命題成立。

　　3.求所有的素數p，使4p^2＋1和6p^2＋1也是素數．

　　參考答案

　　考慮p對5的余數,余數為1時

　　余數為1時：4p^2+1≡4*1+1≡0(mod5)，由于4p^2+1>=4*2^2+1=17,而又可以被5整除，所以一定不是素數；

　　余數為2時：6p^2+1≡6*4+1≡0(mod5)，由于6p^2+1>=6*2^2+1=25,而又可以被5整除，所以一定不是素數；

　　余數為3時：6p^2+1≡6*9+1≡0(mod5)，由于6p^2+1>=6*2^2+1=25,而又可以被5整除，所以一定不是素數；

　　余數為4時：4p^2+1≡4*16+1≡0(mod5)，由于4p^2+1>=4*2^2+1=17,而又可以被5整除，所以一定不是素數；

　　所以由上可知5|p，然而p是質數，所以p只能是5。

　　4.證明存在無限多個自然數a有下列性質：對任何自然數n，z＝n^4＋a都不是素數．

　　參考答案

　　證明：利用費馬小定理的另一種形式p|n^(p-1)-1,(p為質數,n為任意自然數)，所以p-1=4,p=5,5|n^4-1,所以5|n^4-1+5,5|n^4+4,5|n^4+9,5|n^4+14...由于n^4+9>5,所以a=9,14,19,24,...5k+4(k=1,2,3,...)均可使z＝n^4＋a都不是素數，所以命題得證。

　　5.證明：如果p和p＋2都是大于3的素數，那么6是p＋1的因數

　　參考答案

　　p   p+1    p+2    是3個連續自然數其中必有一個數被3整除,

　　已知   P    P+2是素數,  P   P+2不能被3整除. 則P+1能被3整除.

　　又, P是素數, P一定是奇數,  P+1是偶數,

　　故P+1必被6整除.

　　備注：此答案為網友回答，同學們如有不同意見可回復答案。