一道學而思例題與重點中學小升初試題的巧合

                                          "任我意"與"從特殊情況考慮"的數學思想

　　在我們學而思四年級下學期(春季班)第3講三角形的等積變換里，有一道求面積的圖形題，是提高班的例9，這道題的方法可以輕松地解決某些小升初的相關的圖形題，值得我們舉一反三。原題如下所述：

　　如圖，正方形ABCD和正方形CEFG，正方形ABCD的邊長為10厘米，則三角形BFD的面積為多少平方厘米？

　　課堂上老師給同學們講了三種方法，我們在這里介紹其中一種對于解數學題使用很廣的方法------"任我意"的思考方法。

　　因為圖中只給出了大正方形ABCD的邊長，小正方形CEFG的邊長不知道，而且我們發現通過已知條件求不出小正方形的面積，所以我們推斷所求三角形BFD的面積與小正方形的邊長沒有關系（它的邊長可以是任意長，但所求的三角形的面積是保持不變的），所以我們可以把小正方形的邊長設定為一個我們易于解決問題的數據

　　（1）如果設小正方形的邊長為0，也就是把小正方形縮小為一個點，得到如下的圖形，

　　其中E、F、G和C點重合在一起了，所求三角形BFD的面積就變成了三角形BCD的面積了，10×10÷2=50（平方厘米）

　　（2）或者把小正方形的邊長設為10，也就是使兩個正方形的邊長相等，如下圖：

　　這樣所求三角形BFD的面積就是：10×10÷2=50（平方厘米）

　　這道題用到的"任我意"的思考方法在解決數學問題應用是很廣的，它和第6講的數學思想與方法（三）里介紹的"從特殊情況考慮"的思想其實是同一種思考方法，小正方形的邊長既然不知道，我們推斷所求三角形BFD的面積與小正方形的邊長沒有關系（它的邊長可以是任意長，但所求的三角形的面積是保持不變的），所以我們選擇它的特殊情況考慮（即小正方形邊長為0或10），為了培養同學們的對知識和方法進行前后聯系的意識，所以在學第6講時我們把這道題聯系起來，又讓同學們復習了一遍。

　　希望同學們在以后的學習中，可以經常聯想學過的有關知識、例題、和方法，拓展思路，一題多解，或多題一解，有時一道題可以有多種方法；有時一種方法可以解決很多同類型的題，（當然需要我們找出相關題的共同之處，例如雞兔同籠所用到的假設法就可以解決很多相關問題），如果我們平時學習新知識的時候，能有意識地把學過的方法或做過的題與新學的方法或知識進行前后聯系，會有很多新的收獲，使我們學過的方法能達到舉一反三、以一當十甚至以一當百的效果。

　　我們平時的學習需要做一定量的例題和練習來進行鞏固，但題不一定做得越多越好，如果一道題研究得透，思考得多，收獲可能比泛泛地做10道題甚至100道題還要多。

　　上面這道題在考試中的應用：

　　（1）今年（2009年4月），我在海淀區某重點中學參加小升初監考時就看到了一道選擇題與這道題非常類似，可以用同樣的方法解決，考題如下：如圖，正方形ABCD和正方形CEFG的邊長分別為m、n，那么三角形AEG面積的值（）

　　A．只與m的大小有關      B．只與n的大小有關

　　C．與m、n的大小都有關      D．與m、n的大小都無關

　　（2）（2003年西城區某重點中學小升初分班考試題也與此題及其類似）

　　右圖是由大小兩個正方形組成的，小正方形的邊長是4厘米，求三角形ABC的面積。

　　請同學們自己思考以上考題的解法，如果能想出3種方法就更棒了！

　　參考答案：（1）B    （2）4×4÷2=8（平方厘米）