雖然這個活動都是以國際象棋的棋盤和棋子來說明，但實際上所需要的只是一些方格紙、一支鉛筆和一些國際象棋走法的基本知識。

　　車的巡回路徑

　　車的走法與中國象棋中的“車”相同，只能橫走或直走。研究車經(jīng)過棋盤上每個方格一次，然后再回到起點的路徑。這種路徑會形成連續(xù)不斷的回路，可稱為“重返路徑”。圖1和圖2提供兩種走法作為參考。

　　車走完一次重返路徑，需要改變方向的次數(shù)最少是多少？

　　如果車的巡回路徑不一定要重返，那么可以只改變14次方向就經(jīng)過每一方格一次。你能找出這條路徑嗎？

　　車是否可能由某一個角落出發(fā)，經(jīng)過每一方格一次，最后到達(dá)相對的角落？

　　王后的巡回路徑

　　王后可以走對角線，也可以像車一樣直走或橫走，因此所走路徑的變化更多。

　　在圖3的例子中，王后的巡回路徑是對稱的，由一角落出發(fā)，最后到達(dá)相對的角落。在圖4的例子中路徑并不對稱，但可以重返。研究一下既對稱又能重返的巡回路徑。

　　如果允許王后經(jīng)過每一方格的次數(shù)可以超過一次，那么就可以在只改變方向13次的情況下，完成重返巡回路徑。試找出這條路徑。

　　圖5的王后巡回路徑有一種特性。如果把所經(jīng)過的方格依序給予連續(xù)的整數(shù)，以標(biāo)有S的方格為1開始，那么就會形成一個幻方。請試試看。

　　象的巡回路徑

　　象只能沿

解答與分析

　　車的巡回路徑

　　要完成重返巡回路徑，至少要改變方向15次，如圖1。一條不必重返的巡回路徑，只要改變方向14次就可以完成，如圖2。

　　車不可能完成由某一角落到相對角落的巡回路徑。因為例如將車由左下角走到右上角，則向上的位移是7格，向右的位移也是7格，總共有14格的位移；因此在行進(jìn)時，任何超過這個數(shù)目的向右移動，必定要以向左移動抵銷，向上移動也要以向下移動抵銷。所以，車要到達(dá)右上角，經(jīng)過的方格數(shù)一定是偶數(shù)。但完成這個巡回路徑只有63個方格，因此不可能有這樣的巡回路徑。如果車由左下角出發(fā)，完成一條巡回路徑，最后可能結(jié)束于哪些方格？

　　換個角度來看這些問題，可以看成是個8×8的釘板，用一條橡皮圈接觸每一個釘子一次。參閱“5×5的釘板”。

　　王后的巡回路徑

　　任何由車所能完成的巡回路徑，王后都可以完成，因此我們將主要討論沿對角線方向移動的巡回路徑。圖3是一個四瓣旋轉(zhuǎn)對稱的重返巡回路徑，可以從中探討許多與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題。

　　圖4中的路徑雖然經(jīng)過一些方格兩次，但能在只改變方向13次的情況下，經(jīng)過每一方格。

　　象的巡回路徑

　　象從角落的黑色方格出發(fā)后只能朝一個方向移動，因此這個方格不可能出現(xiàn)在象巡回路徑的中途。同理，在任何走黑色方格的巡回路徑中，角落的方格一定是起點或終點。

　　讓我們由圖5中標(biāo)有1的方格出發(fā)，當(dāng)象走到2時，只能再走到3或4。假設(shè)象走到3，那么略作思考就可以明白，4只會在最后一步時經(jīng)過，因為只有一種方式能走到4，那就是經(jīng)過5。但我們已經(jīng)討論過，路徑的終點應(yīng)該是在相對的角落，由此可見，不可能完成一條巡回路徑。

　　如果不能重復(fù)經(jīng)過任何方格，則最多能經(jīng)過29個方格。不管怎么走，一定會有至少3個黑色方格無法到達(dá)。圖6是一種走法，圖7是經(jīng)過每一個黑色方格最有效的路徑。