整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是一部矛盾斗爭(zhēng)的歷史。數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾是推動(dòng)數(shù)學(xué)長(zhǎng)河滾滾向前的主要力量之一。

　　數(shù)學(xué)以現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系作為自己研究的對(duì)家，為了在純粹形態(tài)上研究這些形式和關(guān)系，就必須和現(xiàn)實(shí)世界的內(nèi)容割裂開(kāi)來(lái)。但是，離開(kāi)內(nèi)容的形式和關(guān)系是不存在的。因此，數(shù)學(xué)按它的本質(zhì)企圖實(shí)現(xiàn)這種割裂，是企圖實(shí)現(xiàn)一種不可能的事情。這是在數(shù)學(xué)本質(zhì)中的根本矛盾，它是認(rèn)識(shí)的普遍矛盾在數(shù)學(xué)方面的特殊表現(xiàn)。在越來(lái)越接近現(xiàn)實(shí)的各個(gè)認(rèn)識(shí)階段上，不斷解決和重復(fù)上述矛盾，數(shù)學(xué)就不斷地前進(jìn)、發(fā)展，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由低級(jí)向高級(jí)。

　　人類最早認(rèn)識(shí)的是自然數(shù)，引進(jìn)零和負(fù)數(shù)就經(jīng)過(guò)了斗爭(zhēng)：要么引進(jìn)這些數(shù)，要么大量的數(shù)的減法就行不通。同樣，引進(jìn)分?jǐn)?shù)使乘法有了逆運(yùn)算—除法，否則許多實(shí)際問(wèn)題也不能解決。

　　但是接著又出現(xiàn)了這樣的問(wèn)題：是否所有的量都能夠用有理數(shù)來(lái)表示？發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)并最終使得第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決，促使了邏輯的發(fā)展和幾何學(xué)的系統(tǒng)化。方程解的問(wèn)題導(dǎo)致虛數(shù)的出現(xiàn)，虛數(shù)從一開(kāi)始就被認(rèn)為是“不實(shí)的”，可是這種不實(shí)的數(shù)卻解決了實(shí)數(shù)所不能解決的問(wèn)題，從而為自己爭(zhēng)得了存在的權(quán)利。數(shù)學(xué)就是這樣在矛盾斗爭(zhēng)中發(fā)展的。幾何學(xué)從歐幾里得幾何的一統(tǒng)天下發(fā)展到多種幾何，也是如此。

　　在19世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了許多用傳統(tǒng)方法不能解決的問(wèn)題，如五次及五次以上代數(shù)方程不能通過(guò)加、減、乘、除、開(kāi)方求出根來(lái)；古希臘幾何三大問(wèn)題不能通過(guò)圓規(guī)和直尺作圖來(lái)解決等等。這些否定的結(jié)果表明了傳統(tǒng)方法的局限性，也反映了人類認(rèn)識(shí)的深入。

　　這些發(fā)現(xiàn)給有關(guān)學(xué)科帶來(lái)了極大的沖擊，幾乎完全改變了它們的方向。例如，代數(shù)學(xué)從此以后向抽象代數(shù)的方面發(fā)展，而求解方程的根也變成了分析及計(jì)算數(shù)學(xué)的課題。在第三次數(shù)學(xué)危機(jī)中，這種情況也多次出現(xiàn)，尤其是包含整數(shù)算術(shù)在內(nèi)的形式系統(tǒng)的不完全性、許多問(wèn)題的不可判定性，都大大提高了人們的認(rèn)識(shí)，也促進(jìn)了數(shù)理邏輯的大發(fā)展。

　　由無(wú)窮小量的矛盾引起的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，反映了數(shù)學(xué)內(nèi)部的有限與無(wú)窮的矛盾。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)涉及集合論和數(shù)理邏輯，但它一開(kāi)始就牽涉到無(wú)窮集合，而現(xiàn)代數(shù)學(xué)脫離無(wú)窮集合就寸步難行。一種極端的觀點(diǎn)是只考慮有限集合或至多是可數(shù)的集合，不過(guò)這樣一來(lái)絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)將不復(fù)存在。

　　即使這些有限數(shù)學(xué)的內(nèi)容也有許多要涉及無(wú)窮的方法，有很多的數(shù)學(xué)證明都要用有限的步驟解決涉及無(wú)窮的問(wèn)題。借助于計(jì)算機(jī)完成的四色定理的證明，首先也要把無(wú)窮多種可能的地圖歸結(jié)成有限的情形。對(duì)于無(wú)窮，計(jì)算機(jī)也是無(wú)能為力的。可見(jiàn)數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)回避不了有限與無(wú)窮這對(duì)矛盾，可以說(shuō)它是數(shù)學(xué)矛盾的根源之一。

　　數(shù)學(xué)中也一直貫穿著應(yīng)用上清楚與邏輯上嚴(yán)格的矛盾。在這方面，比較注意實(shí)用的數(shù)學(xué)家盲目應(yīng)用，而比較注意嚴(yán)密的數(shù)學(xué)家則提出批評(píng)。只有這兩方面取得協(xié)調(diào)一致，矛盾才能解決。例如，算符演算及δ函數(shù)，開(kāi)始是形式演算，任意應(yīng)用，直到施瓦爾茲才奠定廣義函數(shù)論的嚴(yán)整系統(tǒng)。微積分的應(yīng)用與極限論的建立更是眾所周知的。

　　在數(shù)學(xué)史中，一直存在著經(jīng)常起作用的兩種重要趨勢(shì)：一種是學(xué)科不斷分化的趨勢(shì)，另一種是學(xué)科不斷綜合的趨勢(shì)。這兩種矛盾的趨勢(shì)的辨證運(yùn)動(dòng)，表現(xiàn)為一個(gè)否定之否定的過(guò)程。

　　自然界作為一個(gè)無(wú)限多樣性的統(tǒng)一整體，通過(guò)感覺(jué)和知覺(jué)進(jìn)入人類的意識(shí)。古時(shí)候，數(shù)學(xué)是在總體的數(shù)和形的關(guān)系上把握自然界的，算術(shù)、代數(shù)、幾何沒(méi)有彼此分開(kāi)，任何一本數(shù)學(xué)名著都包括了這三方面的內(nèi)容，并且把它們?nèi)芑�在一起。因此，古代的�?shù)學(xué)本質(zhì)上是一種感性直觀的關(guān)于數(shù)和理的綜合的科學(xué)。

　　從17世紀(jì)產(chǎn)生解析幾何和微積分以后，學(xué)科分化的趨勢(shì)一直居于主導(dǎo)地位。單一的未經(jīng)分化的學(xué)科向許多專門分支學(xué)科發(fā)展，每一門學(xué)科所研究的又都是具體完整的數(shù)學(xué)中數(shù)與形的某一個(gè)方面。這種不斷分化，到19世紀(jì)下半葉達(dá)到了相當(dāng)精細(xì)的程度，代數(shù)、幾何、分析等學(xué)科已經(jīng)形成了各自不同的研究領(lǐng)域，特別是分析領(lǐng)域的發(fā)展更是蓬蓬勃勃。每個(gè)學(xué)科都可以互不聯(lián)系地單獨(dú)向前發(fā)展，各學(xué)科在理論、語(yǔ)言、方法等方面可以互不相通，根本談不上統(tǒng)一的數(shù)學(xué)的圖景。

　　從1872年克萊因用“群”的觀點(diǎn)統(tǒng)一各種幾何開(kāi)始，到康托爾建立集合論和公理化運(yùn)動(dòng)，越來(lái)越分化的數(shù)學(xué)走向綜合的趨勢(shì)逐漸明顯。到20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)學(xué)科的分化和綜合都明顯加快了。從20年代起，特別是第二次世界大戰(zhàn)后，綜合的趨勢(shì)已占主導(dǎo)地位。學(xué)科的繼續(xù)分化實(shí)際上已經(jīng)是綜合趨勢(shì)的一種表現(xiàn)形式，因?yàn)樾聦W(xué)科的不斷出現(xiàn)正在越來(lái)越消除各學(xué)科之間的傳統(tǒng)界限。對(duì)于數(shù)和形的深入認(rèn)識(shí)，更多地采用多學(xué)科的方法的綜合認(rèn)識(shí)形式。因此，各門學(xué)科更加緊密地聯(lián)系起來(lái)。現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的辨證法就是這樣的，越是理解了整體的各個(gè)方面，就越是接近于綜合地把握整體。

　　也許將來(lái)會(huì)出現(xiàn)一種公認(rèn)的新觀點(diǎn)，把目前的數(shù)學(xué)統(tǒng)一起來(lái)。但是，這種統(tǒng)一只是暫時(shí)的、相對(duì)的。隨著生產(chǎn)和科技的發(fā)展，又會(huì)產(chǎn)生新的問(wèn)題，形成新的分支，促進(jìn)新的分化。數(shù)學(xué)將在這種不斷的分化和綜合中不斷前進(jìn)。