14.設 …, 是任意互異的12個整數,試證明其中一定存在8個整數 …, ,使得: 恰是1155的倍數.

———————————————答 案——————————————————————

1.  6

將42名同學看成42個抽屜,因為212=5´42+1,故至少有一個抽屜中有6本或6本以上的書.

2.  18

因210=17´12+16,故一定有18個或18個以上同學在同一月出生.

3.  2

這40名同學的年齡最多相差36個月(三年)因40=1´36+4,故必有2人是同年、同月出生的.

4.  5

從極端考慮:即使先取走取的4個球都是不同色的,那么取第5個球時就必有二球同色了.

5.  21

將球按顏色分成4類,每次各取5個時,也無6球同色,故應取(6-1)´4+1=21(個)球,才能保證一定有6球同色.

    6.  21

將布袋中的木塊按編號分成60¸6=10(類)要保證其中某一類至少有三個,至少應拿出(3-1)´10+1=21(塊).

7.  6

每箱數目是120~144,共有25種可能.因126=5´25+1,故至少有5+1=6(個)裝相同蘋果數的箱子,即n最小為6.

8.  11

當摸出10根時,可能是8根黑筷,白筷,紅筷各一根,沒有“不同顏色的二雙”.當摸出11根時,至多有8根屬于同一顏色,那么另3根中至少有二根是同色的.

9.  23

當摸出22只球時,可能有9對同色球,但剩余四球分別為紅、藍、黃、白各一只,達不到10對,另一方面,每摸出5個球,就會出現一對同色球,將這一對挪開,再摸出兩個球,就必然會又出現一對紅色球,如此下去,摸出23只球就能保證有10對同色球.

10.  11

兩支筆的種類可分為同色與異色.同色的有4種,異色的有3+2+1=6種,為了保證至少有兩次抓到筆的種類完全相同,至少要抓1´10+1=11(次).

11.  瀏覽一個地方的,有3種,瀏覽二個地方的,有3種,瀏覽三個地方的,有1種,一個地方也不去的,有1種,共有8種方式.故至少有 (人).瀏覽的地方是完全相同的.

12.  給出的數是一個等差數列,它一共有25個數,將這25個組分成13組: .

在這25個數中任取14個數來,必有二數屬于上述13組中的同一組,故這一組二數之和是102.

13.         如圖,將三角形三邊中點連結起來,就將原三角形分成了四個小三角

形, 其邊長均為 ,在原三角形內,任意給5個點,其中至少有兩點在同一個小三角形內,這兩點的距離小于小三角形的邊長 .

    14.  對1155分解質因數得1155=3´5´7´11.

在所給的12數中,必有2數除以11,余數相同,設這2數為x₁,x₂,則(x₁-x₂)是11的倍數.

在剩下的數中,必有2數除以7,余數相同,設這2數為x₃,x₄,則(x₃-x₄)是7的倍數.

在剩下的8數中,必有2數除以5,余數相同,設這2數為x₅,x₆,則(x₅-x₆)是5的倍數.

在剩下的6數中,必有2數除以3,余數相同,設這二數為x₇,x₈,則(x₇-x₈)是3的倍數.

故存在8個數x₁,x₂,…x₈,使(x₁-x₂) (x₃-x₄) (x₅-x₆) (x₇-x₈)是1155的倍數.