容斥與染色
染色問題基本解法：
三面涂色和頂點有關 8個頂點。
兩面染色和棱長有關。即新棱長（棱長-2）×12
一面染色和表面積有關。同樣用新棱長計算表面積公式（棱長-2）×（棱長-2）×6
0面染色和體積有關。用新棱長計算體積公式（棱長-2）×（棱長-2）×（棱長-2）
長方體的解法和立方體同理，即計算各種公式前長、寬、高都要先減2再利用公式計算。
容斥原理
在計數時，必須注意無一重復，無一遺漏。為了使重疊部分不被重復計算，人們研究出一種新的計數方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來，然后再把計數時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復，這種計數的方法稱為容斥原理。
（1）如果被計數的事物有A、B兩類，那么，A類或B類元素個數= A類元素個數+B類元素個數（既是A類又是B類的元素個數）。
（2）如果被計數的事物有A、B、C三類，那么，A類或B類或C類元素個數= A類元素個數+B類元素個數+C類元素個數-既是A類又是B類的元素個數（既是A類又是C類的元素個數-既是B類又是C類的元素個數+既是A類又是B類而且是C類的元素個數）。
課后檢測：
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1. 某班有40人，其中有33人會中國象棋，28人會國際象棋，36人會圍棋。這個班至少有多少人三種都會？
解：∵總人數為40，其中有33人會中國象棋，28人會國際象棋，36人會圍棋。∴有8人不會中國象棋，12人不會國際象棋，4人不會為其，共計24人。
∴有40-24=16人什么都會。
2. 某班有46人，其中有40人會騎車，38人會打乒乓球，35人會打羽毛球，27人會游泳，則這個班至少有多少入以上四項運動都會?
解：一共46人，有40人會騎車，所以就有46-40=6（人）不會騎車，同理有46-38=8（人）不會打乒乓球，有46-35=11（人）不會打羽毛球，有46-27=19（人）不會游泳。假設這個班每個人最多只有一項不會，此時四項都會的人最少。即有6+8+11+19=44（人）不是4項運動都會。而4項都會的人是：46-44=2（人）
答：這個班至少有2人以上四項運動都會。
3.一批商品，每件是1×2×8的長方體，現在有一批現成的木箱，尺寸是12×12×12，試問，能不能用這樣的商品將木箱裝滿？
解：不能，因為12除不盡8。
4. 有六個點a.b.c.d.e.f，其中沒有任何三點在同一條直線上，在每兩點間用線段連接，如果這些線段中每一段或者涂上白色或者涂上黑色，證明至少有一個三角形的三邊是同樣顏色
證明：從a看，它連接的五條線至少有三條同X（可能黑，可能白）色，這三條連著的三個點（假設是b.c.d，其實是等價的）中共有三條連線，若有一條為X色（假設端點b.c），則有同色三角a.b.c，若都不是X色，則有同色三角b.c.d。
5. 8×8的國際象棋棋盤能不能被剪成7個2×2的正方形和9個4×1的長方形？如果可以，請給出一種剪法；如果不行，請說明理由。
解：如下圖，對8×8的棋盤染色，則每一個4×1的長方形能蓋住2白2黑小方格，每一個2×2的正方形能蓋住1白3黑或3白1黑小方格。推知7個正方形蓋住的黑格總數是一個奇數，但圖中的黑格數為32，是一個偶數，故這種剪法是不存在的。
