前面我們講到除法中被除數和除數的整除問題.除此之外，例如：16÷3=5…1，即16=5×3+1.此時，被除數除以除數出現了余數，我們稱之為帶余數的除法。
一般地，如果a是整數，b是整數（b≠0），那么一定有另外兩個整數q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。
當r=0時，我們稱a能被b整除。
當r≠0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數，q為a除以b的不完全商（亦簡稱為商）.用帶余除式又可以表示為a÷b=q…r，0≤r＜b。
例1 一個兩位數去除251，得到的余數是41.求這個兩位數。
分析 這是一道帶余除法題，且要求的數是大于41的兩位數.解題可從帶余除式入手分析。
解：∵被除數÷除數=商…余數，
即被除數=除數×商+余數，
∴251=除數×商+41，
251-41=除數×商，
∴210=除數×商。
∵210=2×3×5×7，
∴210的兩位數的約數有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余數41.所以除數是42或70.即要求的兩位數是42或70。
例2 用一個自然數去除另一個整數，商40，余數是16.被除數、除數、商數與余數的和是933，求被除數和除數各是多少？
解：∵被除數=除數×商+余數，
即被除數=除數×40+16。
由題意可知：被除數+除數=933-40-16=877，
∴（除數×40+16）+除數=877，
∴除數×41=877-16，
除數=861÷41，
除數=21，
∴被除數=21×40+16=856。
答：被除數是856，除數是21。
例3 某年的十月里有5個星期六，4個星期日，問這年的10月1日是星期幾？
解：十月份共有31天，每周共有7天，
∵31=7×4+3，
∴根據題意可知：有5天的星期數必然是星期四、星期五和星期六。
∴這年的10月1日是星期四。
例4 3月18日是星期日，從3月17日作為第一天開始往回數（即3月16日（第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期幾？
解：每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天），
從星期日往回數5天是星期二，所以第1993天必是星期二.
例5 一個數除以3余2，除以5余3，除以7余2，求適合此條件的最小數。
這是一道古算題.它早在《孫子算經》中記有：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”
關于這道題的解法，在明朝就流傳著一首解題之歌：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余數乘以70，用除以5的余數乘以21，用除以7的余數乘以15，再把三個乘積相加.如果這三個數的和大于105，那么就減去105，直至小于105為止.這樣就可以得到滿足條件的解.其解法如下：
方法1：2×70+3×21+2×15=233
233-105×2=23
符合條件的最小自然數是23。
例5 的解答方法不僅就這一種，還可以這樣解：
方法2：[3，7]+2=23
23除以5恰好余3。
所以，符合條件的最小自然數是23。
方法2的思路是什么呢？讓我們再來看下面兩道例題。
例6 一個數除以5余3，除以6余4，除以7余1，求適合條件的最小的自然數。
分析 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同樣“除以6余4”即“加2后被6整除”。
解：[5，6]-2=28，即28適合前兩個條件。
想：28+[5，6]×？之后能滿足“7除余1”的條件？
28+[5，6]×4=148，148=21×7+1，
又148＜210=[5，6，7]
所以，適合條件的最小的自然數是148。
例7 一個數除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合條件的最小自然數。
解：想：2+3×？之后能滿足“5除余3”的條件？
2+3×2=8。
再想：8+[3，5]×？之后能滿足“7除余4”的條件？
8+[3，5]×3=53。
∴符合條件的最小的自然數是53。
歸納以上兩例題的解法為：逐步滿足條件法.當找到滿足某個條件的數后，為了再滿足另一個條件，需做數的調整，調整時注意要加上已滿足條件中除數的倍數。
解這類題目還有其他方法，將會在有關“同余”部分講到。
例8 一個布袋中裝有小球若干個.如果每次取3個，最后剩1個；如果每次取5個或7個，最后都剩2個.布袋中至少有小球多少個？
解：2+[5，7]×1=37（個）
∵37除以3余1，除以5余2，除以7余2，
∴布袋中至少有小球37個。
例9 69、90和125被某個正整數N除時，余數相同，試求N的最大值。
分析 在解答此題之前，我們先來看下面的例子：
15除以2余1，19除以2余1，
即15和19被2除余數相同（余數都是1）。
但是19-15能被2整除.
由此我們可以得到這樣的結論：如果兩個整數a和b，均被自然數m除，余數相同，那么這兩個整數之差（大-小）一定能被m整除。
反之，如果兩個整數之差恰被m整除，那么這兩個整數被m除的余數一定相同。
例9可做如下解答：
∵三個整數被N除余數相同，
∴N｜（90-69），即N｜21，N｜（125-90），即N｜35，
∴N是21和35的公約數。
∵要求N的最大值，
∴N是21和35的最大公約數。
∵21和35的最大公約數是7，
∴N最大是7。
