例1 比較下面兩個(gè)積的大小：

　　A＝987654321×123456789，

　　B＝987654322×123456788.

　　分析 經(jīng)審題可知A的第一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字比B的第一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字小1，但A的第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字比B的第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字大1.所以不經(jīng)計(jì)算，憑直接觀察不容易知道A和B哪個(gè)大.但是無(wú)論是對(duì)A或是對(duì)B，直接把兩個(gè)因數(shù)相乘求積又太繁，所以我們開動(dòng)腦筋，將A和B先進(jìn)行恒等變形，再作判斷.

　　解： A＝987654321×123456789

　　 ＝987654321×（123456788＋1）

　　 ＝987654321×123456788＋987654321.

　　B＝987654322×123456788

　　 ＝（987654321＋1）×123456788

　　 ＝987654321×123456788＋123456788.

　　因?yàn)?987654321＞123456788，所以 A＞B.

例2 不用筆算，請(qǐng)你指出下面哪道題得數(shù)最大，并說明理由.

　　241×249 242×248 243×247

　　244×246 245×245.

　　解：利用乘法分配律，將各式恒等變形之后，再判斷.

　　241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；

　　242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；

　　243×247＝（240＋ 3）×（250— 3）＝ 240×250＋3×7；

　　244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；

　　245×245＝（240＋5）×（250— 5）＝240×250＋5×5.

　　恒等變形以后的各式有相同的部分 240 × 250，又有不同的部分 1×9， 2×8， 3×7， 4 ×6， 5×5，由此很容易看出 245×245的積最大.

　　一般說來(lái)，將一個(gè)整數(shù)拆成兩部分（或兩個(gè)整數(shù)），兩部分的差值越小時(shí)，這兩部分的乘積越大.

　　如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5

　　則5×5＝25積最大.

例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五個(gè)數(shù)的總和.

　　解：五個(gè)數(shù)中，后一個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)大10，可看出1986是這五個(gè)數(shù)的平均值，故其總和為：

　　1986×5＝9930.

例4 2、4、6、8、10、12…是連續(xù)偶數(shù)，如果五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是320，求它們中最小的一個(gè).

　　解：五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的中間一個(gè)數(shù)應(yīng)為 320÷5＝64，因相鄰偶數(shù)相差2，故這五個(gè)偶數(shù)依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.

　　總結(jié)以上兩題，可以概括為巧用中數(shù)的計(jì)算方法.三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，中間一個(gè)數(shù)為首末兩數(shù)的平均值；五個(gè)連續(xù)自然數(shù)，中間的數(shù)也有類似的性質(zhì)——它是五個(gè)自然數(shù)的平均值.如果用字母表示更為明顯，這五個(gè)數(shù)可以記作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此類推，對(duì)于奇數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)，最中間的數(shù)是所有這些自然數(shù)的平均值.

　　如：對(duì)于2n＋1個(gè)連續(xù)自然數(shù)可以表示為：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…， x—1， x， x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中 x是這2n＋1個(gè)自然數(shù)的平均值.

　　巧用中數(shù)的計(jì)算方法，還可進(jìn)一步推廣，請(qǐng)看下面例題.

例5 將1～1001各數(shù)按下面格式排列：

　　一個(gè)正方形框出九個(gè)數(shù)，要使這九個(gè)數(shù)之和等于：

　　①1986，②2529，③1989，能否辦到？如果辦不到，請(qǐng)說明理由.

　　解：仔細(xì)觀察，方框中的九個(gè)數(shù)里，最中間的一個(gè)是這九個(gè)數(shù)的平均值，即中數(shù).又因橫行相鄰兩數(shù)相差1，是3個(gè)連續(xù)自然數(shù)，豎列3個(gè)數(shù)中，上下兩數(shù)相差7.框中的九個(gè)數(shù)之和應(yīng)是9的倍數(shù).

　　①1986不是9的倍數(shù)，故不行；

　　②2529÷9＝281，是9的倍數(shù)，但是281÷7＝40×7＋1，這說明281在題中數(shù)表的最左一列，顯然它不能做中數(shù)，也不行；

　　③1989÷9＝221，是9的倍數(shù)，且221÷7＝31×7＋4，這就是說221在數(shù)表中第四列，它可做中數(shù).這樣可求出所框九數(shù)之和為1989是辦得到的，且最大的數(shù)是229，最小的數(shù)是213.

　　這個(gè)例題是所謂的“月歷卡”上的數(shù)字問題的推廣.同學(xué)們，小小的月歷卡上還有那么多有趣的問題呢！所以平時(shí)要注意觀察，認(rèn)真思考，積累巧算經(jīng)驗(yàn).