一、植樹問題

　　要想了解植樹中的數學并學會怎樣解決植樹問題，首先要牢記三要素：①總路線長.②間距（棵距）長.③棵數.只要知道這三個要素中任意兩個要素.就可以求出第三個。

　　關于植樹的路線，有封閉與不封閉兩種路線。

　　1.不封閉路線

　　例：如圖

　　① 若題目中要求在植樹的線路兩端都植樹，則棵數比段數多1.如上圖把總長平均分成5段，但植樹棵數是6棵。

　　全長、棵數、株距三者之間的關系是：

　　棵數=段數+1=全長÷株距+1

　　全長=株距×（棵數-1）

　　株距=全長÷（棵數-1）

　　② 如果題目中要求在路線的一端植樹，則棵數就比在兩端植樹時的棵數少1，即棵數與段數相等.全長、棵數、株距之間的關系就為：

　　全長=株距×棵數；

　　棵數=全長÷株距；

　　株距=全長÷棵數。

　　③ 如果植樹路線的兩端都不植樹，則棵數就比②中還少1棵。

　　棵數=段數-1

　　=全長÷株距-1.如右圖所示.段數為5段，植樹棵數為4棵。

　　株距=全長÷（棵數+1）。

　　2.封閉的植樹路線

　　例如：在圓、正方形、長方形、閉合曲線等上面植樹，因為頭尾兩端重合在一起，所以種樹的棵數等于分成的段數。如右圖所示。

　　棵數=段數=周長÷株距.

　　二、方陣問題

　　學生排隊，士兵列隊，橫著排叫做行，豎著排叫做列.如果行數與列數都相等，則正好排成一個正方形，這種圖形就叫方隊，也叫做方陣（亦叫乘方問題）。

　　方陣的基本特點是：

　　① 方陣不論在哪一層，每邊上的人（或物）數量都相同.每向里一層，每邊上的人數就少2。

　　② 每邊人（或物）數和四周人（或物）數的關系：

　　四周人（或物）數=[每邊人（或物）數-1]×4；

　　每邊人（或物）數=四周人（或物）數÷4＋1。

　　③ 中實方陣總人（或物）數=每邊人（或物）數×每邊人（或物）數。

例1 有一條公路長900米，在公路的一側從頭到尾每隔10米栽一根電線桿，可栽多少根電線桿？

　　分析 要以兩棵電線桿之間的距離作為分段標準.公路全長可分成若干段.由于公路的兩端都要求栽桿，所以電線桿的根數比分成的段數多1。

　　解：以10米為一段，公路全長可以分成

　　900÷10＝90（段）

　　共需電線桿根數：90+1=91（根）

　　答：可栽電線桿91根。

例2 馬路的一邊每相隔9米栽有一棵柳樹.張軍乘汽車5分鐘共看到501棵樹.問汽車每小時走多少千米？

　　分析 張軍5分鐘看到501棵樹意味著在馬路的兩端都植樹了；只要求出這段路的長度就容易求出汽車速度.

　　解：5分鐘汽車共走了：

　　9×（501-1）=4500（米），

　　汽車每分鐘走：4500÷5=900（米），

　　汽車每小時走：

　　900×60=54000（米）=54（千米）

　　列綜合式：

　　9×（501-1）÷5×60÷1000=54（千米）

　　答：汽車每小時行54千米。

例3 某校五年級學生排成一個方陣，最外一層的人數為60人.問方陣外層每邊有多少人？這個方陣共有五年級學生多少人？

　　分析 根據四周人數和每邊人數的關系可以知：

　　每邊人數=四周人數÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數，那么整個方陣隊列的總人數就可以求了。

　　解：方陣最外層每邊人數：60÷4＋1=16（人）

　　整個方陣共有學生人數：16×16=256（人）

　　答：方陣最外層每邊有16人，此方陣中共有256人。

例4 晶晶用圍棋子擺成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個.晶晶擺這個方陣共用圍棋子多少個？

　　分析 方陣每向里面一層，每邊的個數就減少2個.知道最外面一層每邊放14個，就可以求第二層及第三層每邊個數.知道各層每邊的個數，就可以求出各層總數。

　　解：最外邊一層棋子個數：（14-1）×4=52（個）

　　第二層棋子個數：（14-2-1）×4=44（個）

　　第三層棋子個數：（14-2×2-1）×4=36（個）.

　　擺這個方陣共用棋子：

　　52+44＋36＝132（個）

　　還可以這樣想：

　　中空方陣總個數=（每邊個數一層數）×層數×4進行計算。

　　解：（14-3）×3×4=132（個）

　　答：擺這個方陣共需132個圍棋子。

例5 一個圓形花壇，周長是180米.每隔6米種一棵芍藥花，每相鄰的兩棵芍藥花之間均勻地栽兩棵月季花.問可栽多少棵芍藥？多少棵月季？兩棵月季之間的株距是多少米？

　　分析 ①在圓形花壇上栽花，是封閉路線問題，其株數=段數.② 由于相鄰的兩棵芍藥花之間等距的栽有兩棵月季，則每6米之中共有3棵花，且月季花棵數是芍藥的2倍。

　　解：共可栽芍藥花：180÷6＝30（棵）

　　共種月季花：2×30＝60（棵）

　　兩種花共：30+60=90（棵）

　　兩棵花之間距離：180÷90=2（米）

　　相鄰的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍藥花，所以月季花的株距是2米或4米。

　　答：種芍藥花30棵，月季花60棵，兩棵月季花之間距離為2米或4米。

例6 一個街心花園如右圖所示.它由四個大小相等的等邊三角形組成.已知從每個小三角形的頂點開始，到下一個頂點均勻栽有9棵花.問大三角形邊上栽有多少棵花？整個花園中共栽多少棵花？

　　分析 ①從已知條件中可以知道大三角形的邊長是小三角形邊長的2倍.又知道每個小三角形的邊上均勻栽9株， 則大三角形邊上栽的棵數為

　　9×2-1=17（棵）。

　　② 又知道這個大三角形三個頂點上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所以大三角形三條邊上共栽花

　　（17-1）×3=48（棵）。

　　③.再看圖中畫斜線的小三角形三個頂點正好在大三角形的邊上.在計算大三角形栽花棵數時已經計算過一次，所以小三角形每條邊上栽花棵數為9-2=7（棵）

　　解：大三角形三條邊上共栽花：

　　（9×2-1-1）×3=48（棵）

　　中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：

　　（9-2）×3=21（棵）

　　整個花壇共栽花：48+21=69（棵）

　　答：大三角形邊上共栽花48棵，整個花壇共栽花69棵。