小學奧數競賽專題之同余問題

　　[專題介紹]：同余問題

　　生活中我會經常遇到與余數有關的問題，比如：某年級有將近400名學生。有一次演出節目排隊時出現：如果每8人站成一列則多余1人；如果改為每9人站成一列則仍多余1人；結果發現現成每10人結成一列，結果還是多余1人；聰名的你知道該年級共有學生多少名嗎？

　　假設有一名學生不參加演出，則結果一定是不管每列站8人或9人或10人都將剛好站齊。因此此時學生人數應是8、9、10公倍數，而8、9、10的最小公倍數是360，因此可知該年級共有361人。

　　研究與余數有關的問題，能幫助我們解決很多較為復雜的問題。

　　[分析]

　　1、兩個整數a和b，除以一個大于1的自然數m所得余數相同，就稱a和b對于模m同余或稱a和b在模m下同余，即a≡b（modm）

　　2、同余的重要性質及舉例。

　　〈1〉a≡a（modm）（a為任意自然）

　　〈2〉若a≡b（modm），則b≡a（modm）

　　〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）則a≡c（modm）

　　〈4〉若a≡b（modm），則ac≡bc（modm）

　　〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），則ac=bd（modm）

　　〈6〉若a≡b（modm）則an≡bm（modm）

　　其中性質〈3〉常被稱為"同余的可傳遞性"，性質〈4〉、〈5〉常被稱為"同余的可乘性，"性質〈6〉常被稱為"同余的可開方性"

　　注意：一般地同余沒有"可除性"，但是：

　　如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1則a≡b（modm）

　　3、整數分類：

　　〈1〉用2來將整數分類，分為兩類：

　　1，3，5，7，9，……（奇數）

　　0，2，4，6，8，……（偶數）

　　〈2〉用3來將整數分類，分為三類：

　　0，3，6，9，12，……（被3除余數是0）

　　1，4，7，10，13，……（被3除余數是1）

　　2，5，8，11，14，……（被3除余數是2）

　　〈3〉在模6的情況下，可將整數分成六類，分別是：

　　0（mod6）：0，6，12，18，24，……

　　1（mod6）：1，7，13，19，25，……

　　2（mod6）：2，8，14，20，26，……

　　3（mod6）：3，9，15，21，27，……

　　4（mod6）：4，10，16，22，29，……

　　5（mod6）：5，11，17，23，29，……

　　[經典例題]

　　例1：求437×309×1993被7除的余數。

　　思路分析：如果將437×309×1993算出以后，再除以7，從而引得到，即437×309×1993=269120769，此數被7除的余數為1。但是能否尋找更為簡變的辦法呢？

　　473≡3（mod7）

　　309≡1（mod7）

　　由"同余的可乘性"知：

　　437×309≡3×1（mod7）≡3（mod7）

　　又因為1993≡5（mod7）

　　所以：437×309×1993≡3×5（mod7）

　　≡15（mod7）≡1（mod7）

　　即：437×309×1993被7除余1。

　　例2：70個數排成一行，除了兩頭的兩個數以外，每個數的三倍恰好等于它兩邊兩個數的和，這一行最左邊的幾個數是這樣的：0，1，3，8，21，……，問這一行數最右邊的一個數被6除的余數是幾？

　　思路分析：如果將這70個數一一列出，得到第70個數后，再用它去除以6得余數，總是可以的，但計算量太大。

　　即然這70個數中：中間的一個數的3倍是它兩邊的數的和，那么它們被6除以后的余數是否有類似的規律呢？

　　0，1，3，8，21，55，144，……被6除的余數依次是

　　0，1，3，2，3，1，0，……

　　結果余數有類似的規律，繼續觀察，可以得到：

　　0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，……

　　可以看出余數前12個數一段，將重復出現。

　　70÷2=5……10，第六段的第十個數為4，這便是原來數中第70個數被6除的余數。

　　思路分析：我們被直接用除法算式，結果如何。

　　例4、分別求滿足下列條件的最小自然數：

　　（1）用3除余1，用5除余1，用7除余1。

　　（2）用3除余2，用5除余1，用7除余1。

　　（3）用3除余1，用5除余2，用7除余2。

　　（4）用3除余2，用7除余4，用11除余1。

　　思路分析：

　　（1）該數減去1以后，是3，5和7的最小公倍數105，所以該數的是105+1=106

　　（2）該數減去1以后是5和7的公倍數。因此我們可以以5和7的公倍數中去尋找答案。下面列舉一些同時被5除余1，被7除余1的數，即

　　1，36，71，106，141，176，211，246，……從以上數中尋找最小的被3除余2的數。

　　36≡0（mod3），71≡2（mod3），符合條件的最小的數是71。

　　（3）我們首先列舉出被5除余2，被7除余2的數，2，37，72，107，142，177，212，247，……

　　從以上數中尋找最小的被3除余1的數。

　　2（mod3），37≡（mod3）、因此符合條件的最小的數是37。

　　（4）我們從被11除余1的數中尋找答案。

　　1，12，23，34，45，56，67，78，89，100，133，144，155，166，177，188，199，210，232，243，……

　　1（mod3）；1（mod7），不符合

　　12≡0（mod3），12≡5（mod7）不符合

　　23≡2（mod3），23≡2（mod7）不符合

　　34≡1（mod3），34≡6（mod7）不符合

　　45≡0（mod3），45≡3（mod7）不符合

　　56≡2（mod3），56≡0（mod7）不符合

　　67≡1（mod3），67≡4（mod7）不符合

　　78≡0（mod3），78≡1（mod7）不符合

　　89≡2（mod3），89≡5（mod7）不符合

　　100≡1（mod3），100≡2（mod7）不符合

　　122≡2（mod3），122≡3（mod7）不符合

　　133≡1（mod3），133≡0（mod7）不符合

　　144≡1（mod3），144≡4（mod7）不符合

　　155≡2（mod3），155≡1（mod7）不符合

　　166≡1（mod3），166≡5（mod7）不符合

　　177≡0（mod3），177≡2（mod7）不符合

　　188≡2（mod3），188≡6（mod7）不符合

　　199≡1（mod3），199≡3（mod7）不符合

　　210≡0（mod3），210≡0（mod7）不符合

　　221≡2（mod3），221≡4（mod7）符合

　　因此符合條件的數是221。

　　例5判斷以下計算是否正確

　　（1）42784×3968267=1697598942346

　　（2）42784×3968267=1697598981248

　　思路分析：若直接將右邊算出，就可判斷

　　41784×3968267=169778335328，可知以上兩結果均是錯的；但是計算量太大。

　　如果右式和左式相等，則它們除以某一個數余數一定相同。因為求一個數除以9的余數只需要先求這個數數字之和除以9的余數，便是原數除以9的余數。我考慮上式除以9的余數，如果余數不相同，則上式一定不成立。

　　（1）從個位數字可知，右式的個位數字只能是8，而右式個位為6，因此上式不成立。

　　（2）右式和左式的個位數字相同，因而無法斷定上式是否成立，但是

　　4+2+7+8+4=25，25≡7（mod9）

　　3+9+6+8+2+6+7=41，41≡5（mod9）

　　42784≡7（mod9）；3968267≡5（mod9）

　　42784×3968267≡35（mod9）

　　≡8（mod9）

　　（1+6+9+7+5+9+8+9+4+2+3+4+8）≡3（mod9）

　　因此（2）式不成立

　　以上是用"除9取余數"來驗證結果是否正確，常被稱為"棄九法"。

　　不過應該注意，用棄九法可發現錯誤，但用棄九法沒找出錯誤卻不能保證原題一定正確。

　　習題

　　1、求16×941×1611被7除的余數。

　　3、判斷結果是否正確：（1）5483×9117=49888511

　　（2）1226452÷2683=334

　　4、乘法算式

　　3145×92653=291093995的橫線處漏寫了一個數字，你能以最快的辦法補出嗎？

　　5、13511，13903，14589被自然數m除所得余數相同，問m最大值是多少？