小學(xué)三年級(jí)奧數(shù)題——方陣講解
同學(xué)們要參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式,要進(jìn)行隊(duì)列操練,解放軍排著整齊的方隊(duì)接受檢閱等,無(wú)論是訓(xùn)練或接受檢閱,都要按一定的規(guī)則排成一定的隊(duì)形,于是就產(chǎn)生了這一類的數(shù)學(xué)問題,今天我們將共同研究和分析這類問題。
士兵排隊(duì),橫著排叫行,豎著排叫列,若行數(shù)與列數(shù)都相等,正好排成一個(gè)正方形,這就是一個(gè)方隊(duì),這種方隊(duì)也叫做方陣(亦叫乘方問題)。
方陣的基本特點(diǎn):
(1)方陣不論哪一層,每邊上的人(或物)數(shù)量都相同,每向里一層,每邊上的人數(shù)就少2。
(2)每邊人(或物)數(shù)和四周人(或物)的關(guān)系;
四周人(或物)數(shù)=[每邊人(或物)數(shù)-1]×4
每邊人(或物)數(shù)=四周人(或物)數(shù)÷4+1
(3)中實(shí)方陣的總?cè)藬?shù)(或物)=每邊人(或物)數(shù)×每邊人(或物)數(shù)
(4)空心方陣的總?cè)?或物)數(shù)=（最外層每邊人(或物)數(shù)－空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4
例1.三年級(jí)一班參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式,排成一個(gè)方陣,最外層一周的人數(shù)為20人,問方陣最外層每邊的人數(shù)是多少?這個(gè)方陣共有多少人?
分析:根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關(guān)系可知:
每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1,可以求出這個(gè)方陣最外層每邊的人數(shù),那么這個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。
解:(1)方陣最外層每邊的人數(shù):20÷4+1=5+1=6(人)
(2)整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù):6×6=36(人)
答:方陣最外層每邊的人數(shù)是6人,這個(gè)方陣共有36人。
例2.明明用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣,如果最外層每邊有圍棋子15個(gè),明明擺這個(gè)方陣最里層一周共有多少棋子?擺這個(gè)三層空心方陣共用了多少個(gè)棋子?
分析:(1)方陣每向里面一層,每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè),知道最外面一層,每邊放15個(gè),可以求出最里層每邊的個(gè)數(shù),就可以求出最里層一周放棋子的總數(shù)。
(2)根據(jù)最外層每邊放棋子的個(gè)數(shù)減去這個(gè)空心方陣的層數(shù),再乘以層數(shù),再乘以4,計(jì)算出這個(gè)空心方陣共用棋子多少個(gè)。
解:(1)最里層一周棋子的個(gè)數(shù)是:(15-2-2-1)×4=40(個(gè))
(2)這個(gè)空心方陣共用的棋子數(shù)是:(15-3)×3×4=144(個(gè))
答:這個(gè)方陣最里層一周有40個(gè)棋子;擺這個(gè)空心方陣共用144個(gè)棋子。
例3.玲玲家的花園中,有一個(gè)如下圖那樣,由四個(gè)大小相同的小等邊三角形組成的一個(gè)大三角形花壇,玲玲在這個(gè)花壇上種了若干棵雞冠花,已知每個(gè)小三角形每邊上種雞冠花5棵,問大三角形的一周有雞冠花多少棵?玲玲一共種雞冠花多少棵?
分析:(1)由圖可知大三角形的一條邊是由兩條小三角形的邊組成的,而在大三角形一條邊的中間那棵花,是兩條小三角形的邊所共用的,所以如果小三角形每邊種花5棵,那么大三角形每邊上種花的棵數(shù)就是5×2-1=9棵了,又由于大三角形三個(gè)頂點(diǎn)上的3棵花,都是大三角形的兩條邊所共用的,所以大三角形一周種花的棵數(shù)等于大三角形三邊上種花棵數(shù)的和減去三個(gè)頂點(diǎn)上重復(fù)計(jì)算的3棵花,即:9×3-3=24,就是大三角形一周種花的棵數(shù)。
(2)三角形各條邊上種雞冠花棵數(shù)的總和,等于里邊小三角形一周上種花的棵數(shù),加上大三角形一周種花的棵數(shù),再減去重復(fù)計(jì)算的3棵花(因?yàn)槔镞呅∪切蔚娜齻�(gè)頂點(diǎn)上的三棵花,也分別是外邊大三角形每條邊上的一棵花)。
解:(1)大三角形一周上種花的棵數(shù)是:(5×2-1)×3-3=24(棵)
(2)小三角形一周種雞冠花的棵數(shù)是:(5-1)×3=12(棵)
(3)玲玲一共種雞冠花的棵數(shù)是:24+12-3=33(棵)
答:大三角形一周種雞冠花24棵;玲玲一共種雞冠花33棵。
例4.五年級(jí)學(xué)生分成兩隊(duì)參加學(xué)校廣播操比賽,他們排成甲乙兩個(gè)方陣,其中甲方陣每邊的人數(shù)等于8,如果兩隊(duì)合并,可以另排成一個(gè)空心的丙方陣,丙方陣每邊的人數(shù)比乙方陣每邊的人數(shù)多4人,甲方陣的人數(shù)正好填滿丙方陣的空心五年級(jí)參加廣播操比賽的一共有多少人?
分析:若只排列一個(gè)乙方陣,則多余的人數(shù)為(即甲方陣的人數(shù))8×8=64(人),排列一個(gè)實(shí)心的丙方陣,不足的人數(shù)是:8×8=64(人)假設(shè)丙方陣為實(shí)心方陣,則乙多的人數(shù)是:8×8+8×8=128(人),又根據(jù)方陣擴(kuò)展一層,每邊增加2人,丙方陣比乙方陣的外邊多4人,丙方陣多于乙方陣的層數(shù)是4÷2=2(層),方陣擴(kuò)展2層,需要增加128人,則方陣最外層的人數(shù)是(128+2×4)÷2=68(人),丙方陣的總?cè)藬?shù)18×18-8×8=260(人)
解:(1)假設(shè)丙方陣為實(shí)心方陣,則方陣最外層的人數(shù)是:(8×8+8×8+2×4)÷2=68(人)
(2)丙方陣最外層每邊的人數(shù)是:68÷4+1=18(人)
(3)空心丙方陣的總?cè)藬?shù):18×18-8×8=324-64=260(人)
答:五年級(jí)參加廣播操比賽的一共有260人。
例5.有楊樹和柳樹以隔株相間的種法,種成7行7列的方陣,問這個(gè)方陣最外一層有楊樹和柳樹各多少棵?方陣中共有楊樹,柳樹各多少棵?
分析:根據(jù)已知條件柳樹和楊樹的種法有如下兩種,假設(shè)黑點(diǎn)表示楊樹,白點(diǎn)表示柳樹觀察圖(1)(2)不管是柳樹種在方陣最外層的角上還是楊樹種在方陣最外層的角上,方陣中除最里邊一層外其它層楊樹和柳樹都是相同的。因而楊樹和柳樹的棵數(shù)相等,即最外層楊,柳樹分別為(7-1)×4÷2=12(棵)。
當(dāng)柳樹種在方陣最外層的角上時(shí),最內(nèi)層的一棵是柳樹;當(dāng)楊樹種在方陣最外層的角上時(shí),最內(nèi)層的一棵是楊樹,即在方陣中,楊樹和柳樹總數(shù)相差1棵。
解:(1)最外層楊柳樹的棵數(shù)分別為:(7-1)×4÷2=12(棵)
(2)當(dāng)楊樹種在最外層角上時(shí),楊樹比柳樹多1棵:
楊樹:(7×7+1)÷2=25(棵)
柳樹:7×7-25=24(棵)
(3)當(dāng)柳樹種在最外層角上時(shí),柳樹比楊樹多1樹
柳樹(7×7+1)÷2=25(棵)
楊樹7×7-25=24(棵)
答:在圖(1)(2)兩種方法中,方陣最外層都有楊樹12棵,柳樹12棵,方陣中總共有楊樹25棵,柳樹12棵,方陣中總共有楊樹25棵,柳樹24棵,或者有楊樹24棵,柳樹25棵。
