A1－008 將某個17位數的數字的順序顛倒，再將得到的數與原來的數相加．證明：得到的和中至少有一個數字是偶數．

【題說】 第四屆（1970年）全蘇數學奧林匹克八年級題 4．

【證】 假設和的數字都是奇數．在加法算式

中，末一列數字的和d＋a為奇數，從而第一列也是如此，因此第二列數字的和b＋c≤9．于是將已知數的前兩位數字a、b與末兩位數字c、d去掉，所得的13位數仍具有性質：將它的數字顛倒，得到的數與它相加，和的數字都是奇數．照此進行，每次去掉首末各兩位數字．最后得到一位數，它與自身相加顯然是偶數．矛盾！

因此，和的數字中必有偶數．

A1－009 證明：如果p和p＋2都是大于3的素數，那么6是p＋1的因數．

【題說】 第五屆（1973年）加拿大數學奧林匹克題 3．

【證】 因為p是奇數，所以2是p＋1的因數．

因為p、p＋1、p＋2除以 3余數不同，p、p＋2都不被 3整除，所以p＋1被 3整除．

于是6是p＋1的因數．
 A1－010 證明：三個不同素數的立方根不可能是一個等差數列中的三項（不一定是連續(xù)的）．

【題說】 美國第二屆（1973年）數學奧林匹克題5．

【證】 設p、q、r是不同素數．假如有自然數l、m、n和實數a、d，

消去a，d，得

化簡得（m－n）³p＝（l－n）³q＋（m－l）³r＋3（l－n）（m

原命題成立．
  A1－011 設n為大于2的已知整數，并設V_n為整數1＋kn的集合，k＝1，2，…．數m∈V_n稱為在 V_n中不可分解，如果不存在數p，q∈V_n使得 pq＝m．證明：存在一個數r∈V_n可用多于一種方法表達成V_n中不可分解的元素的乘積．

【題說】 第十九屆（1977年）國際數學奧林匹克題3．本題由荷蘭提供．

【證】 設a＝n－1，b＝2n－1，則a²、b²、a²b²都屬于V_n．因為a²＜（n＋1）²，所以a²在V_n中不可分解．

式中不會出現a²．

r＝a²b²有兩種不同的分解方式：r＝a²?b²＝a²…（直至b2分成不可分解的元素之積）與r＝ab?ab＝…（直至ab分成不可分解的元素之積），前者有因數a²，后者沒有．

A1－012 證明在無限整數序列

10001，100010001，1000100010001，…

中沒有素數．

注意第一數（一萬零一）后每一整數是由前一整數的數字連接0001而成．

【題說】 1979年英國數學奧林匹克題 6．

【證】 序列 1，10001，100010001，…，可寫成

1，1＋10⁴，1＋10⁴＋10⁸，…

一個合數．

即對n＞2，a_n均可分解為兩個大于1的整數的乘積，而a₂＝10001＝137?73．故對一切n≥2，a_n均為合數．

A1－013 如果一個自然數是素數，并且任意地交換它的數字，所得的數仍然是素數，那么這樣的數叫絕對素數．求證：絕對素數的不同數字不能多于3個．

【題說】 第十八屆（1984年）全蘇數學奧林匹克八年級題 8．

【證】 若不同數字多于 3個，則這些數字只能是1<FONT style=