數學學習的遷移不是自動發生的，它受制于許多因素。其中最主要的有數學學習材料的因素、數學活動經驗的概括水平以及數學學習定勢。

一、數學學習材料的相似性

遷移需要通過對新舊學習中的經驗進行分析、抽象，概括出其中共同的經驗成分才能實現。因此，數學學習材料在客觀上要有相似性。心理學的研究表明，相似程度的大小決定著遷移范圍和效果的大小。許多心理學家從學習對象的結構來分析相似性對遷移的影響。學習對象的構成成分可以區分為結構的和表面的。例如，一元二次方根的判別式，字母是表面成分，“一次項系數”－“二次項系數與常數項系數之積的4倍”是其結構成分。如果兩個任務有共同的結構成分，則產生正遷移，否則不能促進正遷移。學習任務之間的相似性是由共同因素決定的，共同因素越多，相似性越大。但不管是表面的還是結構的相似性，都將增加學生對兩個任務的相似性程度的知覺，而知覺到的相似性決定了遷移量的多少，兩種情景的結構相似性決定了遷移的正或負。因此，在數學教學中，注意抓共同因素，通過共同因素來促進遷移，可以增強學習效果。

　　例1 已知  ，求證：a，b，c三數成等比數列。

　　分析：由已知條件的結構與一元二次方程根的判別式結構的相似性，構造方程：

　　 ，①

　　由條件知①有等根，又由其系數之和為0，知①有根x＝1。從而由韋達定理得：

　　 由此即得所證。

二、數學活動經驗的概括水平

數學學習的遷移是一種學習中習得的數學活動經驗對另一種學習的影響，也就是已有經驗的具體化與新課題的類化過程或新、舊經驗的協調過程。因此，已有數學活動經驗的概括水平對遷移的效果有很大影響。一般來說，概括水平越低，遷移范圍就越小，遷移效果也越差；反之，概括水平越高，遷移的可能性就越大，效果也越好。在數學學習中，重視基本概念、基本原理的理解，重視數學思想方法的掌握，其意義就在于這些知識的概括水平高，容易實現廣泛的、效果良好的遷移。

心理學家以專家和新手作為被試對學習情景的結構相似性和表面相似性進行了深入的研究。結果表明，當兩種學習具有結構相似性但表面不相似時，專家比新手更易產生正遷移。而兩種學習僅具有表面相似性時，新手比專家更易產生負遷移。其原因是新手一般根據看得見的表面特征來形成表象，而對抽象的結構特征往往注意不到。新手應用表面特征作為提取線索，只要兩個問題具有相似的表面特征，他們就會用同樣的方式來解決。但專家往往善于從抽象的結構水平上把握相似性，較少受表面特征的干擾。如果產生了負遷移，專家會在嘗試使用錯誤程序后，以相似性和結構這兩種特征作為提取線索，對兩個任務的關系重新進行分析、加工，這就比較容易擺脫負遷移。專家之所以能夠做到這一點，其原因就在于他們善于從深層結構上去理解知識，把知識與其應用的條件、應用方式結合起來，從而準確地把握知識的功能。

例1 關于x的方程有且僅有一個公共實根，求k的值。

例2 關于x的方程有且僅有一個公共實根，求p＋q的值。

在學習了一元二次方程根的概念后，將上述兩個問題一起呈現，觀察學生在解題中的表現。可以發現，解例1的過程是：

令α為它們的公共根，由根的概念，有

，

兩式相減得

，

顯然，k≠1，因此，α＝1，于是k＝－2。

解例2時，大多數學生重復了解例1時的過程。

但是，對專家解答上述兩個問題的觀察可以發現，他們在解答例2時，先分析它的結構特征，在發現例1僅僅是它的特例后，利用例1所提供的“結構信息”，在心中默想讓p＝k，q＝1，不需進行重復操作而直接說出了答案為－1。

我們知道，在新知識的學習過程中，已有認知結構中具有概括水平高、包容范圍廣、能夠起固定作用的有關知識，而且這些知識是清晰、穩定的，與新知識之間彼此可以容易地區分的，是新知識學習的最重要條件。這里講的也是已有經驗（認知結構）的概括性問題。已有認知結構的概括性高，新舊知識的本質差異或相似性就容易辨別，而且，概括性與穩定性、清晰性是緊密聯系的。因此，已有數學活動經驗的概括性是影響遷移的不可忽視的重要因素。

總之，概括程度高的已有數學活動經驗為正遷移的產生提供了最重要的先決條件。正如布魯納指出的，所掌握的知識越基礎、越概括，對新學習的適應性就越廣泛，遷移就越廣泛。所以，在數學學習中，應當強調基礎知識的掌握，即要強調理解抽象的、概括水平高的數學基本概念、原理、公式、法則等以及由內容反映出的數學思想方法。領會數學基本概念“是通向適當的‘訓練遷移’的大道”。

三、數學學習定勢

定勢現象是一種預備性反應或反應的準備，它是在連續活動中發生的。在活動進程中，先前活動經驗為后面的活動形成一種準備狀態。定勢是指向于一定活動的動力因素，它使學生傾向于在學習時以一種特定的方式進行反應。定勢本身是在一定活動基礎上形成的，它實際上是關于活動方向選擇方面的一種傾向性，這種傾向性本身是一種活動經驗。有的心理學家認為，活動的重復與活動的需要是定勢形成的不可缺少因素。

由于定勢是關于選擇活動方向的一種傾向性，因此對遷移來說，定勢的影響既可以起促進作用也可以起阻礙作用。后續作業是先前作業的同類課題時，一般來說，定勢對學習能夠起促進作用。數學教學中，我們往往利用定勢的這一作用，循序漸進地安排一組具有一定變化性的問題，來促使學生掌握某種數學思想方法。

例1① 解方程|x＋3|＋|x－3|＝10。

此題的解法很多，此處是為了使學生理解|x－A|的幾何意義在解題中的作用而設置，通過教學使學生初步掌握用絕對值意義解題的思想方法。

題中|x＋3|、|x－3|分別表示實數軸上點x到點－3、3的距離，分別用a、b表示這兩個距離。容易看出（如圖5.3.1），當|x|≤3時，恒有|x＋3|＋|x－3|＝6，因此，方程有解的范圍是|x|＞3。于是有下列方程組：

圖5-3-1

　　得a＝8，b＝2，而x＝b＋3＝a－3＝5。再利用對稱性可求出另一根。
　　這里，|x－A|的幾何意義使學生看出了在|x|≤3時，恒有|x＋3|＋|x－3|＝6。這一點在解下列問題中很有意義。
　　例2 求函數f(x)＝|x－1|＋|x＋2|＋|x－3|＋|x＋4|＋|x－5|的極小值。
　　根據上述例1的經驗，容易想到使函數取極小值的x∈[－4，5]，且在該區間上只需討論函數f(x)＝|x－1|＋|x＋2|＋|x－3|＋9即可；進一步，x∈[－2，3]，保證了 x∈[－4，5]，于是只需討論函數f(x)＝|x－1|＋5＋9即可。顯然函數的極小值是函數f(1)＝5＋9＝14。
　　下面給出代數解答。
　　不難證明，若x₁∈[－4，5]，x₂∈(－∞，－4)∪(5，∞)，則f(x₁)＜ f(x₂)。
　　據|A＋B|≤|A|＋|B|中等號成立的充要條件AB＞0，有：x∈[－2，3]時(x＋2)(x－3)≤0和(x＋4)(x－5)≤0，于是(x＋2)(3－x)≥0，(x＋4)( 5－x)≥0,因此，|x＋2|＋|x－3|＝|(x＋2)＋(3－x)＝5，|x＋4|＋|x－5|＝|(x＋4)＋(5－x)＝9，故函數的最小值是f(1)＝14。
　　利用|x－A|的幾何意義和|A＋B|≤|A|＋|B|中等號成立的充要條件是AB＞0，不難得到下例的解法。

　　例3 求函數  （i≠j時，b_i≠b_j）的極小值。

　　不妨設b₁＜b₂＜…＜b_n，當n＝2k－1（k為正整數）時，極小值為  ；當n＝2k時，極小值為  。

　　實際上，在上述解法中，n為奇數時，  是數列b₁，b₂，…，b_n中居于中間的那個數，n為偶數時，  是數列b₁，b₂，…，b_n中居于中間的那兩個數。在數理統計中有“中位數”的概念，我們可以認為，極小值是在“中位數”這一點上取得的。由此還可以解釋為什么在各種大獎賽中，用“去掉一個最高分，去掉一個最低分”的方法計算成績的合理性。

　　在例3的討論中，如果出現i≠j，b_i＝b_j的情況，例如

　　例4 求f(x)＝2|x－1|＋3|x＋2|＋4|x－3|的極小值。

　　當x∈[－2，3]時，f(x)＝2|x－1|＋3（|x＋2|＋|x－3|）＋|x－3| ＝2|x－1|＋3?5＋|x－3|；當x∈[1，3]時顯然有x∈[－2，3]，有f(x)＝|x－1|＋15＋（|x－3|＋|x－1|）＝|x－1|＋15＋2，因此，所求極小值為f(1)＝17。

　　利用“中位數”概念，由－2≤－2≤－2＜1≤1＜3≤3≤3≤3，知數1處于中間位置，因此直接可求出極小值為f(1)＝17。

將上述純數學問題賦予一定的實際意義，就可以編出所謂的“實際應用題”：

例5 一條河流沿岸有n個碼頭，現欲建一個儲油站供各個碼頭使用，如果每個碼頭的用油量相同，那么儲油站設在哪里最合算？

還可以引進“權”的概念，即再上題中將“每個碼頭用油量相同”改為“各個碼頭用油量分別為ai（i＝1，2，…，n）”，如何設計儲油站的位置？

又如：某國道附近有n個城鎮，各城鎮都有公路與國道相連，距離分別為si（i＝1，2，…，n）。這n個城鎮決定集資修建一個貨物轉運站，如何選擇建站地點從整體上看最合理？

如果要學習的知識與先前的某些知識貌似相同但本質不同，或者雖然類似但需要進行變通，這時定勢可能產生干擾作用，使思維僵化，解題方法固定化，從而阻礙遷移。研究表明，學生如果在較難的問題中用慣了某一公式，那么他們以后就有堅持應用這一公式的傾向，并且很難改變；如果學生在較易解決的問題中用慣了某一公式，則在解決新問題時能夠較靈活地適應。因此，學習時對某一法則或方法付出的代價越大，定勢導致的僵化行為就越難改變。由此可以得出，定勢在遷移方面的消極作用，往往表現為一種具有負遷移的功能固著，導致盲目地套用某種程式，簡單模仿某種經驗，從而影響問題的順利解決。

　　例如，求二次函數  的最大值或最小值，通常用“配方法”：

　　 ，

　　因此，a＜0時，。

　　一般來說，許多學生在學習過程中都把注意力放在“配方”和    上，而對于  到底能否取得則往往不予注意。如果教師在組織“求二次函數的最大、最小值”訓練的開始階段，對這一點沒有給予充分重視，則經過一定的強化訓練，就會形成“不顧x的取值范圍”的定勢。在解類似于下列問題時出現錯誤：

　　例6 α、β是方程  的兩個根，問m為何值時，α²＋β²有最小值？

　　解：  ，

　　又α²＋β²≥0，因此當  時，α²＋β²有最小值0。

　　還有許多學生得出最小值為  。

大多數教師肯定有過這樣的經驗：當學生出現上述錯誤時，要求他們重新檢查結果，并改正錯誤，學生在這樣的要求下能夠獨立正確地檢查和改錯任務，但下次解答同類問題時，上述錯誤仍然再次出現。顯然，造成這種問題的原因不是因為學生頭腦中缺乏應有的知識，而是因為“配方法”求“最值”程序的定勢所造成的。這一點正如心理學家指出的，規則經過程序化后，人的行為會變得相當刻板。這樣，如果學生總是習慣以一種方式來處理某類問題情景（如上面的“配方”然后“找零點”），那么他們處理這種問題情景的程序就會得到充分編輯，既被組合起來，又被程序化。一旦出現這種程序化，人就很難對它進行有意識的檢驗和評價，因而很少甚至絕不會想到再啟用另一些更可取的程序，即使這些程序已經保持在他的長時記憶中。因此，為了克服定勢所造成的負遷移，應當使知識的學習與其使用條件的認知結合起來，加強根據具體條件靈活應用知識的訓練。