一、定義法

　　例1  若方程 只有負(fù)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是：_________。

　　分析與解  因?yàn)榉匠讨挥胸?fù)數(shù)解，故 ，原方程可化為：

　　 ，

　　∴ ，

　　即

　　說(shuō)明  絕對(duì)值的意義有兩點(diǎn)。其一，一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值是零；其二，在數(shù)軸上表示一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。利用絕對(duì)值的定義常可達(dá)到去掉絕對(duì)值符號(hào)的目的。

　　二、利用非負(fù)性

　　例2  方程 的圖象是（   ）

　　（A）三條直線：

　　（B）兩條直線：

　　（C）一點(diǎn)和一條直線：（0，0），

　　（D）兩個(gè)點(diǎn)：（0，1），（－1，0）

　　分析與解  由已知，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得

　　即 或

　　解之得： 或

　　故原方程的圖象為兩個(gè)點(diǎn)（0，1），（－1，0）。

　　說(shuō)明  利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可以將絕對(duì)值符號(hào)去掉，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為其它的問(wèn)題來(lái)解決。

　　三、公式法

　　例3  已知 ，求 的值。

　　分析與解  ，

　　∴原式

　　說(shuō)明  本題根據(jù)公式 ，將原式化為含有 的式子，再根據(jù)絕對(duì)值的定義求值。

　　四、分類(lèi)討論法

　　例4  實(shí)數(shù)a滿足 且 ，那么

　　分析與解  由 可得

　　 且 。

　　當(dāng) 時(shí)，

　　 ；

　　當(dāng) 時(shí)，

　　說(shuō)明  有的題目中，含絕對(duì)值的代數(shù)式不能直接確定其符號(hào)，這就要求分情況對(duì)字母涉及的可能取值進(jìn)行討論。

　　五、平方法

　　例5  設(shè)實(shí)數(shù)a、b滿足不等式 ，則

　　（A） 且

　　（B） 且

　　（C） 且

　　（D） 且

　　分析與解  由于a、b滿足題設(shè)的不等式，則有

　　 ，

　　整理得

　　 ，

　　由此可知 ，從而

　　上式僅當(dāng) 時(shí)成立，

　　∴ ，即 且 ，

　　選B。

　　說(shuō)明  運(yùn)用此法是先對(duì)不等式進(jìn)行平方去掉絕對(duì)值，然后求解。

　　六、圖示法

　　例6  在式子 中，由不同的x值代入，得到對(duì)應(yīng)的值。在這些對(duì)應(yīng)值中，最小的值是（   ）

　　（A）1  （B）2  （C）3  （D）4

　　分析與解  問(wèn)題可變化為：在數(shù)軸上有四點(diǎn)A、B、C、D，其對(duì)應(yīng)的值分別是－1、－2，－3、－4，求一點(diǎn)P，使 最小（如圖）。

　　由于 是當(dāng)P點(diǎn)在線段AD上取得最小值3， 是當(dāng)P在線段BC上取得最小值1，故 的最小值是4。選D。

　　說(shuō)明  由于借助圖形，巧妙地把問(wèn)題在圖形中表示出來(lái)，形象直觀，便于思考，從而達(dá)到快捷解題之目的。

　　七、驗(yàn)證法

　　例7  是一個(gè)含有4重絕對(duì)值符號(hào)的方程，則（   ）

　　（A）0、2、4全是根
（B）0、2、4全不是根

　　（C）0、2、4不全是根

　　（D）0、2、4之外沒(méi)有根

　　分析與解  從答案中給出的0、2、4容易驗(yàn)證都是方程的根，并且通過(guò)觀察得知－2也是一根，因此可排除B、C、D，故選A。

　　說(shuō)明  運(yùn)用此法是從題干出發(fā)，取符合題意的某些特殊值或特殊圖形，與選擇支對(duì)照檢驗(yàn)，從而判定各個(gè)選擇支的正誤。

　　八、代數(shù)式零點(diǎn)法

　　例8  的最小值是_________。

　　分析與解  由 可確定零點(diǎn)為－1、2、3。

　　當(dāng) 時(shí)，

　　原式 ；

　　當(dāng) 時(shí)，

　　原式 ；

　　當(dāng) 時(shí)，

　　原式 ；

　　當(dāng) 時(shí)，

　　原式

　　綜上知所求最小值為4。

　　說(shuō)明  運(yùn)用此法解決含字母代數(shù)式絕對(duì)值化簡(jiǎn)方法是：（1）先求代數(shù)式零點(diǎn)，把數(shù)軸分為若干區(qū)間；（2）判定各區(qū)間內(nèi)代數(shù)式的正負(fù)號(hào)；（3）依據(jù)絕對(duì)值的定義，去掉絕對(duì)值符號(hào)。

　　九、數(shù)形結(jié)合法

　　例9  已知二次函數(shù) 的圖象如圖所示，并設(shè) ，則（   ）

　　（A）   （B）   （C）   （D）不能確定M為正、負(fù)或?yàn)?

　　分析與解  令 中 ，由圖象得： ；

　　令 得

　　∵頂點(diǎn)在第四象限，

　　∴頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)

　　又 ，

　　而 ，

　　∴ ，即

　　故

　　選C。

　　說(shuō)明  運(yùn)用此法是將抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，達(dá)到以形助數(shù)，以數(shù)助形，可以使許多復(fù)雜問(wèn)題獲得簡(jiǎn)便的解決。

　　十、組合計(jì)數(shù)法

　　例10  方程 ，共有幾組不同整數(shù)解

　　（A）16  （B）14  （C）12  （D）10

　　分析與解  由已知條件可得

　　當(dāng) 時(shí)， ；

　　當(dāng) 時(shí)， ；

　　當(dāng) 時(shí)， ；

　　當(dāng) 時(shí)， 。

　　共有12組不同整數(shù)解，故選C。

　　說(shuō)明  此法具有較強(qiáng)的技巧性，必須認(rèn)真分析條件，進(jìn)行分類(lèi)、歸納，從中找出解決問(wèn)題的方法。

　　十一、枚舉法

　　例11  已知a為整數(shù)， 是質(zhì)數(shù)，試確定a的所有可能值的和。

　　分析與解  設(shè) 是質(zhì)數(shù)p，則 僅有因子±1及 。

　　當(dāng) 時(shí)，

　　 ，此時(shí)， ；

　　當(dāng) 時(shí)，

　　 ，此時(shí)， ；

　　當(dāng) 時(shí)，

　　 ，此時(shí)， ；

　　當(dāng) 時(shí)，

　　 ，此時(shí)，

　　∴當(dāng)a取整數(shù)－1、－2、5、4時(shí)， 是質(zhì)數(shù)， 即a的所有可能值的和為6。

　　說(shuō)明  運(yùn)用此法是指在題目條件的范圍內(nèi)，將可能的情況一一列舉出來(lái)，然后通過(guò)比較、檢驗(yàn)進(jìn)行篩選，最終確定結(jié)果。