一般螺旋線體

　　在現代科學中，螺旋體結構逐漸成為一種極其重要的結構，尤其在生物學和原子物理學中。DNA分子結構就是螺旋體結構。在劍鞘匹配的三種形式當中，螺旋體與一維直線及二維平面上的圓不同，它還涉及到一個旋轉方向的問題。就是說它可能是左旋的，也可能是右旋的。一條直線或一個圓與它在鏡子中的影像完全一樣，而螺旋體卻不同。在鏡中“它們的旋轉方向發生了變化”，影片《路易斯?開羅》中的愛麗斯在看到鏡中的屋子時曾發出這樣的感慨。再比如，物理學中的中微子，以光速運行，在運行過程中始終繞一個軸旋轉，從某種意義上講，它隨時間變化在空間描繪出了一個螺旋線軌道。而反中微子的螺旋線軌道旋轉方向則與中微子的剛好相反。

　　在自然界和人們的日常生活中，螺旋線的實例不勝枚舉。右旋螺旋線傳統的定義是，按順時針方向旋轉逐漸向遠離你的方向旋進所形成的螺旋線。螺釘、螺栓和螺母一般都是右旋的。許多螺旋狀結構，比如圓環形樓梯、螺旋狀糖果器、彈簧、絞合線或電纜中每股細繩的纏繞方向等等，有的是右旋、有的是左旋。你注意到理發店門前紅白相間的招牌是什么旋轉方向嗎？

　　在自然界中，螺旋狀還可見諸動物的某些部位，如海螺的殼、雄性角鯨的長牙、人的耳蝸及臍帶等。在植物界螺旋狀更是屢見不鮮，如草本植物的主莖、葉柄、蔓、種子、花、球果、葉子、樹干等等。當松鼠在樹上爬上爬下時，它爬過的路線就是螺旋形的。蝙蝠從巢里出來后飛行的軌跡也是螺旋形的。在自然現象中，渦流、龍卷風都是錐形螺旋的實例。水通過下水道入口向下流時亦呈螺旋形式。如果想了解自然界中更多的螺旋現象，請參看馬丁?伽頓尼所著《奇妙世界》一書。

　　一個規則的螺旋線是環繞圓柱體表面而形成的曲線，環繞過程中必須使之與圓柱體母線的夾角恒定(母線系指在圓柱體表面上與軸平行的直線)，我們稱這個恒定的角為B。不難看出，如果B角為O度，螺旋線就成了一條直線；如果B角為90度，螺旋線就變成了一個圓。進一步分析可以看出，當B角在0度至90度之間變化時，形成的螺旋曲線是一個以B角為參數的參數方程。而上述的直線與圓則是這個一般空間螺旋曲線的兩個極限形式。規則的螺旋曲線必須是曲率與撓度保持不變的螺旋線。滿足劍與鞘相匹配的形狀只有螺旋線及它的兩個極限形式，前述分析是否可以作為這一結論的注腳？

　　螺旋線在水平面上的投影顯而易見是一個圓，如果在垂直于螺旋線軸的方向上投影呢？結果是一條正弦曲線。于是這里又得出一個以投影方向為參數的曲線參數方程，從不同的角度投影，得到不同的投影曲線。事實上，正弦曲線及其性質正是由此巧妙地引入。

　　下面再談一個有關螺旋線的而且頗具玄機的小故事。一個圓柱形塔，高100米，塔中有一電梯，塔的外表面有一環形樓梯，環形樓梯的伸展方向與豎直方向夾角60度恒定不變。塔的直徑是13米。

　　一天，皮特夫婦乘電梯去塔頂的了望臺，他們的兒子湯姆托?皮特從塔外的環形樓梯上爬上去，當湯姆托爬到塔頂時，他自然是上氣不接下氣了。

　　“你必輸無疑，我的兒子。”皮特先生說，“你要走四倍于我們的距離，而且完全靠雙腳。”

　　“你說錯了，爸爸。”湯姆托說，“我走的距離是你的距離的兩倍。”

　　究竟誰說得對？是湯姆托還是他的爸爸？對于如何求樓梯長度的問題，許多人堅持必須要先知道圓柱塔的直徑才行。出乎意料的是，塔的直徑13米這一已知條件在此可以完全不予考慮。

　　為什么圓柱的直徑是個與環形樓梯的長度無關的量呢？盤繞在塔柱面上的環形(即螺旋形)樓梯實質上是一個直角三角形的斜邊，這個直角三角形的三個角是60度、30度和90度，高度100米。在這種三角形中，斜邊的長度是高度(30度角所對的邊)的兩倍。所以湯姆托是正確的。

　　你可以做一個小實驗來驗證上述結論。展開一個硬圓筒或展開繞在圓筒上的手紙，你會意外地發現，圓筒上的螺旋線變成了平面上一個直角三角形的斜邊，其長度與這個直角三角形卷成的圓柱體的直徑全然無關。