我國古代學(xué)者早就研究過這個(gè)問題。例如我國明朝數(shù)學(xué)家程大位在他著的《算法統(tǒng)宗》（1593年）中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解法：

             三人同行七十稀，

             五樹梅花甘一枝，

             七子團(tuán)圓正半月，

             除百零五便得知。

"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，當(dāng)所得的數(shù)比105大時(shí)，就105、105地往下減，使之小于105；這相當(dāng)于用105去除，求出余數(shù)。

   這四句口訣暗示的意思是：當(dāng)除數(shù)分別是3、5、7時(shí)，用70乘以用3除的余數(shù)，用21乘以用5除的余數(shù)，用15乘以用7除的余數(shù)，然后把這三個(gè)乘積相加。加得的結(jié)果如果比105大，就除以105，所得的余數(shù)就是滿足題目要求的最小正整數(shù)解。

   按這四句口訣暗示的方法計(jì)算韓信點(diǎn)的這隊(duì)士兵的人數(shù)可得：

         70×2+21×3+15×4=263，

             263=2×105+53，

所以，這隊(duì)士兵至少有53人。

   在這種方法里，我們看到：70、21、15這三個(gè)數(shù)很重要，稍加研究，可以發(fā)現(xiàn)它們的特點(diǎn)是：

      70是5與7的倍數(shù)，而用3除余1；

      21是3與7的倍數(shù)，而用5除余1；

      15是3與5的倍數(shù)，而用7除余1。

因而

      70×2是5與7的倍數(shù)，用3除余2；

      21×3是3與7的倍數(shù)，用5除余3；

      15×4是3與5的倍數(shù)，用7除余4。

   如果一個(gè)數(shù)以a余數(shù)為b，那么給這個(gè)數(shù)加上a的一個(gè)倍數(shù)以后再除以a，余數(shù)仍然是b。所以，把70×2、21×3與15×4都加起來所得的結(jié)果能同時(shí)滿足"3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求。一般地，

      70m+21n+15k (1≤m＜3, 1≤n＜5,1≤k＜7)

   能同時(shí)滿足"用3除余m 、用5除余n 、用7除余k "的要求。除以105取余數(shù)，是為了求合乎題意的最小正整數(shù)解。

   我們已經(jīng)知道了70、21、15這三個(gè)數(shù)的性質(zhì)和用處，那么，是怎么把它們找到的呢？要是換了一個(gè)題目，三個(gè)除數(shù)不再是3、5、7，應(yīng)該怎樣去求出類似的有用的數(shù)呢？

   為了求出是5與7的倍數(shù)而用3除余1的數(shù)，我們看看5與7的最小公倍數(shù)是否合乎要求。5與7的最小公倍數(shù)是5×7=35，35除以3余2，35的2倍除以3余2，35的2倍除以3就能余1了，于是我們得到了"三人同行七十稀"。

   為了求出是3與7的倍數(shù)而用5除余1的數(shù)，我們看看3與7的最小公倍數(shù)是否合乎要求。3與7的最小公倍數(shù)是3×7=21，21除以5恰好余1，于是我們得到了"五樹梅花甘一枝"。

   為了求出是3與5的倍數(shù)而用7除余1的數(shù)，我們看看3與5的最小公倍數(shù)是否合乎要求。3與5的最小公倍數(shù)是3×5=15，15除以7恰好余1，因而我們得到了"七子團(tuán)圓正半月"。

   3、5、7的最小公倍數(shù)是105，所以"除百零五便得知"。

   依照上面的思路，我們可以舉一反三。

   例如：試求一數(shù)，使之用4除余3，用5除余2，用7除余5。

   解  我們先求是5與7的倍數(shù)而用4除余1的數(shù)；5與7的最小公倍數(shù)是5×7=35，35除以4余3，3×3除以4余1，因而35×3=105除以4余1，105是5與7的倍數(shù)而用4除余1的數(shù)。

   我們?cè)偾?與7的倍數(shù)而用5除余1的數(shù)；4與7的最小公倍數(shù)是4×7=28，28除以5余3，3×7除以5余1，因而28×7=196除余5余1，所以196是4與7的倍數(shù)而用5除余1的數(shù)。

   最后求是4與5的倍數(shù)而用7除余1的數(shù)：4與5的最小公倍數(shù)是4×5=20，20除以7余6，6×6除以7余1，因而20×6=120除以7余1，所以120是4與5的倍數(shù)而用7除余1的數(shù)。

   利用105、196、120這三個(gè)數(shù)可以求出符合題目要求的解：

      105×3+196×2+120×5=1307。

   由于4、5、7的最小公倍數(shù)是4×5×7=140，1307大于140，所以1307不是合乎題目要求的最小的解。用1037除以140得到的余數(shù)是47，47是合乎題目的最小的正整數(shù)解。

   一般地，

         105m+196n+120k (1≤m＜4,1≤n＜5,1≤k＜7)

是用4除余m,用5除余n,用7除余k的數(shù);( 105m+196n+120k)除以140所得的余數(shù)是滿足上面三個(gè)條件的最小的正數(shù)。

   上面我們是為了寫出105m+196n+120k這個(gè)一般表達(dá)式才求出了105這個(gè)特征數(shù)。如果只是為了解答我們這個(gè)具體的例題，由于5×7=35既是5與7的倍數(shù)除以4又余3，就不必求出105再乘以3了。

         35+196×2+120×5=1027

就是符合題意的數(shù)。

             1027=7×140+47，

由此也可以得出符合題意的最小正整數(shù)解47。

   《算法統(tǒng)宗》中把在以3、5、7為除數(shù)的"物不知其數(shù)"問題中起重要作用的70、21、15這幾個(gè)特征數(shù)用幾句口訣表達(dá)出來了，我們也可以把在以4、5、7為除數(shù)的問題中起重要作用的105、196、120這幾個(gè)特征數(shù)編為口訣。留給讀者自己去編吧。

   凡是三個(gè)除數(shù)兩兩互質(zhì)的情況，都可以用上面的方法求解。

   上面的方法所依據(jù)的理論，在中國稱之為孫子定理，國外的書籍稱之為中國剩余定理